Esistono gruppi con problemi di parole in gradi P arbitrari?

È noto da molto tempo che, dato qualsiasi titolo di studio di Turing, esiste un gruppo finemente presentato la cui parola problema è in quel grado. La mia domanda è se la stessa cosa sia vera per gradi polinomiali arbitrari di Turing. In particolare, dato un insieme decidibile, , esiste un gruppo presentato in modo fine, con un problema di parole, , tale che e ? Sarei anche disposto a rilassarmi finitamente presentato a ricorsivamente presentato.$A$$W$$W\leq_T^P A$$A\leq_T^P W$

Ho il sospetto che la risposta sia sì, e ho sentito altri dire che hanno letto questo da qualche parte, ma non sono stato in grado di inseguire un riferimento.

Penso che questo non sia noto. (Chiedo scusa: penso di essere stata anche una delle persone che hanno detto di aver ricordato di averlo letto da qualche parte.) Ad esempio, credo che Sapir-Birget-Rips, Annals of Math 2002 siano stati i primi a dimostrare l'esistenza di un gruppo con problema di parole (che sarebbe una banale conseguenza del risultato richiesto in questa domanda). Il loro Corollario 1.1 afferma:$\mathsf{NP}$

Esiste un gruppo finemente presentato con problemi di parole NP-complete. Inoltre, per ogni lingua per un certo finita alfabeto esiste un gruppo finitamente presentato tale che la complessità temporale non deterministico di è polinomialmente equivalente alla complessità temporale non deterministico di .$L \subseteq A^*$$A$$G$$G$$L$

Mentre la seconda metà di questo corollario è un po 'in uno spirito simile a questa domanda, è ben lungi dal dimostrare che ogni livello di contiene un problema di parole.$\leq_T^p$