Transizione dal quantistico al classico casuale cammina sulla linea

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Esistono modelli di decoerenza per la camminata quantistica sulla linea in modo tale che possiamo accordare la camminata per diffonderla come per qualsiasi 1/2 \ leq k \ leq 1 ?1 / 2 ≤ k ≤ $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

Motivazione

Le passeggiate casuali classiche sono utili nella progettazione di algoritmi e le passeggiate casuali quantistiche si sono dimostrate utili per creare un numero di algoritmi quantistici interessanti (a volte con accelerazioni esponenziali dimostrabili ). Pertanto, è importante comprendere la differenza tra passeggiate casuali quantistiche e classiche. A volte, il modo più semplice per farlo è prendere in considerazione modelli di giocattoli, come le passeggiate sulla linea.

C'è anche una motivazione fisica: è interessante sapere come la meccanica quantistica si ridimensiona alla meccanica classica. Ma questo non è molto rilevante per Cstheory.

La mia motivazione personale è completamente ortogonale: sto cercando di abbinare alcuni dati sperimentali con un modello che passa agevolmente dal quantico al classico ed è relativamente intuitivo.

sfondo

Quando si considerano le passeggiate quantistiche e classiche sulla linea intera, una differenza chiave è che la deviazione standard (della distribuzione della posizione) della passeggiata quantistica va come e quelle classiche come dove è il numero di passaggi per un modello discreto o il tempo in un modello continuo. Nota che questo non è limitato alla linea e per molti grafici vedrai una simile relazione quadratica tra il tempo di miscelazione quantico e classico, considero il caso limitato della linea poiché penso che sia più facile da analizzare.Θ ( t 1 / 2 ) $\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

Quando introduciamo la decoerenza in una camminata quantistica (attraverso la misurazione o il rumore) la camminata inizia a comportarsi in modo più classico. In effetti, per la maggior parte delle misurazioni, finiamo con una camminata classica che si diffonde come se vista dalla scala temporale corretta. Per altre forme di decoerenza (come la cancellazione della moneta o l'introduzione di imperfezioni nella linea) di solito c'è una soglia acuta al di sotto della quale la camminata si comporta in modo quantico (diffusa come ) e sopra la quale la camminata inizia ad essere classica ( diffuso come ). In effetti, questo ridimensionamento è stato persino suggerito come la definizione di una passeggiata quantistica.Θ ( t ) Θ ( t 1 / 2$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$

Versione lunga della domanda

Esistono modelli di decoerenza per una camminata casuale sulla linea, in modo tale che quando variamo la quantità di decoerenza possiamo ottenere una deviazione standard nella posizione che si ridimensiona come per qualsiasi ? In alternativa per altri grafici con un gap nel tempo di miscelazione o di risposta, esistono forme di decoerenza in modo che possiamo avere la deviazione di miscelazione / colpire / standard che va come per qualsiasi e dove è la classica miscelazione / colpire / STD e è il quanto puro. Se ciò non è possibile, esiste un motivo più profondo per cui vediamo questo tipo di comportamento l'uno o l'altro?1 / 2 ≤ k ≤ 1 f ( t ) f ∈ Σ ( g ( t ) ) f ∈ O ( h ( t ) ) g ( t ) h ( t $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

Ottima domanda In realtà, la stessa domanda è emersa in qualcosa a cui stavo lavorando alcuni mesi fa ( arXiv: 1011.1217 ). Sembra che qualsiasi tipo naturale di decoerenza porti a un comportamento che inizialmente sembra balistico, ma che diventa diffusivo con l'aumentare del tempo, quindi stai passando da un regime un regime . Vedere la figura 2 nel documento sopra per un esempio di questo. Questo sembra essere il comportamento naturale poiché il tuo stato perde gradualmente coerenza.$t$$t^{\frac{1}{2}}$

Ciò sembrerebbe suggerire che la varianza si ridimensiona solo come o , e quindi la camminata si diffonde come o .$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

Tuttavia, esattamente la stessa cosa accade nella metrologia quantistica quando viene introdotto il rumore, ma può essere superato per produrre un ridimensionamento intermedio (vedere ad esempio JA Jones et al, Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , eccetera.). Un modo per ottenere ciò è effettuare misurazioni intermedie.

Immagina di misurare la posizione del deambulatore dopo ogni periodo di tempo collassare la funzione d'onda e permetti una libera evoluzione nel mezzo. Ora, immagina di voler far evolvere il sistema per il tempo totale . Quindi la varianza nella posizione del walker dopo questo periodo sarà . In assenza di altra decoerenza sappiamo che il camminatore si muove in modo balistico, e quindi , e quindi il . Tuttavia, come , possiamo prendere e . Pertanto$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$ T ∝ t 1 $n\propto t^k$ Var (x(t))= t 2 - $T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$. In questo modo è possibile ottenere qualsiasi ridimensionamento intermedio, scegliendo in modo appropriato l'intervallo di misurazione.