Il conteggio delle cricche massime in un grafico di incomparabilità # P-completo?

Questa domanda è motivata da una domanda MathOverflow di Peng Zhang . Valiant ha mostrato che il conteggio delle cricche massime in un grafico generale è # P-completo, ma cosa succede se ci limitiamo ai grafici di incomparabilità (ovvero, vogliamo contare gli antoidi massimi in un poset finito)? Questa domanda sembra abbastanza naturale da sospettare che sia stata considerata in precedenza, ma non sono stata in grado di individuarla nella letteratura.

— Timothy Chow
fonte

Secondo questo abstract di "La complessità del conteggio dei tagli e del calcolo della probabilità che un grafico sia collegato" (SIAM J. Comput. 12 (1983), pp. 777-788), il conteggio delle anti-catene in un ordine parziale è # P-completo. Non ho accesso a questo documento, quindi non posso dire se questo risultato copre le massime anti-catene o no.

— mhum
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@ András: penso che il loro risultato riguardi il conteggio degli ancaina (che non sono necessariamente massimi). Potrebbe essere facile vedere che il conteggio degli antoidi massimi è anche # P-completo, ma non riesco a vederlo.

— Tsuyoshi Ito,

@ András: La domanda riguarda i massimi antichain, non i massimi cardinali. Non ho studiato la riduzione nella carta, quindi forse la loro riduzione dimostra anche la completezza # P del conteggio degli antichain massimi allo stesso tempo, ma almeno sono problemi diversi.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: hai ragione, il documento di Provan / Ball mostra solo che contare gli antichain con massima cardinalità è # P-difficile. Di nuovo al tavolo da disegno ...

— András Salamon il

In realtà, se guardi la dimostrazione, vedrai che la completezza # P è dimostrata per una classe di poset in cui tutte le massime anticine hanno la stessa cardinalità. Vale a dire, inizia con qualsiasi grafico bipartito

con

vertici e costruisci un grafico bipartito

con

vertici aggiungendo

nuovi vertici

nuovi bordi

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

. Quindi, se

è una bipartizione della insieme dei vertici di

, definire un poset su

modificando

sono in adiacente

. Quindi questo risponde alla mia domanda.

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— Timothy Chow,