Qual è il numero di lingue accettate da un DFA di dimensione ?

La domanda è semplice e diretta: per una fissa , quante (diverse) lingue sono accettate da un DFA di dimensione (cioè stati)? Lo dichiarerò formalmente: $n$ $n$ $n$

Definire un DFA come , dove tutto è come al solito e è una funzione (possibilmente parziale). Dobbiamo stabilirlo poiché a volte sono considerate valide solo le funzioni totali. $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

Per ogni , definire la relazione (equivalenza) sull'insieme di tutti i DFA come: se e . $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

La domanda è, quindi: per una data , qual è l'indice di ? Cioè, qual è la dimensione dell'insieme ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

Anche quando è una funzione totale, non sembra essere un conteggio facile (almeno per me). Il grafico potrebbe non essere collegato e gli stati nel componente collegato contenente lo stato iniziale potrebbero accettare tutti, quindi, ad esempio, ci sono molti grafici di dimensione accettano . Lo stesso con altre combinazioni banali per la lingua vuota e altre lingue il cui DFA minimo ha meno di stati. $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

La ricorsione (ingenua) non sembra funzionare neanche. Se prendiamo un DFA di dimensione e aggiungiamo un nuovo stato, quindi, se vogliamo mantenere il determinismo e rendere connesso il nuovo grafico (per cercare di evitare casi banali), dobbiamo rimuovere una transizione per connettere il nuovo stato, ma in tal caso potremmo perdere la lingua originale. $k$

qualche idea?

Nota. Ho aggiornato di nuovo la domanda, con una dichiarazione formale e senza i precedenti elementi di distrazione.

— Janoma
fonte

Giusto per chiarire: vuoi dire "quante lingue diverse si possono definire usando stati?", Dove una lingua è definita usando stati se esiste un DFA con stati che lo accetta. Inoltre, per le espressioni regolari, la regex "a * aaaaaa" ha sicuramente> 1 concatenazioni, ma il DFA ha bisogno di un solo stato (due se hai bisogno di un sink separato), no?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Evgenij Thorstensen,

Scuse: per l'esempio regex, dovrebbe essere "a a a a a *", poiché ciò consente qualsiasi numero.

— Evgenij Thorstensen,

La definizione di appare molto correlata alla nozione di "profondità del punto", tranne per il fatto che il concetto è normalmente applicato a linguaggi senza stelle (probabilmente per i motivi che @Evgenij Thorstensen ha delineato).

c (r)

$c(r)$

— mum

Osservazione fondamentale: è possibile utilizzare stati per definire almeno lingue diverse.

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— Evgenij Thorstensen,

Possiamo ottenere un po 'di più, quindi sembra OK. Ma il numero di automi n-state è intorno a (assumendo ). Possiamo ottenere ?

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— Kaveh,

Penso che questa domanda sia stata studiata in precedenza. Mike Domaratzki ha scritto un sondaggio sulla ricerca in questo settore: "Enumeration of Formal Languages", Bull. EATCS, vol. 89 (giugno 2006), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— Hermann Gruber
fonte

Il documento affronta esattamente la domanda posta, da pagina 120 in poi. È la funzione , e il documento fornisce dei limiti piuttosto stretti (vicino a ciò che Kaveh menziona sopra), anche se non ho inalato tutti i dettagli.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— Evgenij Thorstensen,

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$