Numero di classi di equivalenza in lingue regolari in funzione della dimensione DFA

Questa domanda è collegata a una recente domanda di Janoma .

sfondo

Nella programmazione vincolo, un regolare vincolo globale $c$ su un dominio $D$ è una coppia $(s, M)$ con $s$ una tupla di variabili (la portata) e $M$ un DFA sul dominio $D$ . Un'assegnazione $\theta$ di $s$ soddisfa $c$ se $M$ accetta la stringa $\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$ .

Di seguito, supponiamo che il dominio $D$ sia fisso. Definire una relazione di equivalenza $\sim$ sull'insieme di stringhe $T = D^{|s|}$tale che $a \sim b$ se per ogni DFA $M$ o $a, b \in L(M)$ o $a, b \not\in L(M)$ . Intuitivamente, due stringhe sono equivalenti se nessun DFA può distinguerle. Se ciò è vero, soddisfano anche gli stessi vincoli regolari .

Se non limitiamo i DFA in alcun modo, l'insieme delle classi di equivalenza $T/{\sim}$ è solo $T$ stesso. Sono interessato al numero di classi di equivalenza scritte. $\sim$ in funzione del numero di stati $n$ che consentiamo al DFA. Chiaramente, se $n = |D|^{|s|}$(ignora le costanti) quindi $|T/{\sim}| = |T|$. (Naturalmente, $n$ qui sarà esso stesso una funzione di $|s|$ .)

Domande

1. Qual è la $n$ più piccola per la quale $|T/{\sim}| = |T|$?
2. Cosa succede sotto quello? In particolare,
   • c'è un $n$ tale che $|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$ ?
   • c'è un $n$ tale che $|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$ ?

$|s|^{|D|}$

$k$$\geq k$

Risposta alla domanda 1,

Qual è la n più piccola per la quale | T / ∼ | = | T | $n$$|T/{\sim}|=|T|$

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ .

che è stato ottenuto in

Robson, JM , Stringhe di separazione con piccoli automi , Inf. Processi. Lett. 30, n. 4, 209-214 (1989). ZBL0666.68051 .