Riduzioni dal libro.

Questo è sulla falsariga di " Algorithms from the Book ". Anche se le riduzioni sono anche algoritmi, ho pensato che si potesse pensare a una riduzione della risposta alla domanda sugli algoritmi del libro. Da qui una query separata!

Sono benvenute riduzioni di ogni tipo.

Inizierò con la riduzione davvero semplice dalla copertura del vertice al multicut sulle stelle. La riduzione suggerisce quasi se stessa una volta identificato il problema alla fonte (prima del quale troverei difficile credere che il problema sarebbe stato difficile per le stelle). Questa riduzione implica la costruzione di una stella con foglie e l'associazione di una coppia di terminali con ogni bordo del grafico, ed è "facile da vedere" che funzioni. Lo aggiornerò con un collegamento a un riferimento, una volta trovato.$n$

Coloro a cui manca il contesto del libro potrebbe voler esaminare la domanda sugli algoritmi del libro .

Aggiornamento: mi rendo conto che non ero del tutto chiaro su ciò che si qualifica come una riduzione dal libro. Trovo che questo problema sia un po 'complicato, quindi confesso di eludere deliberatamente il problema scivolando in un riferimento all'altro thread :)

Vorrei quindi descrivere ciò che avevo in mente, e suppongo che sia ovvio: YMMV a questo proposito. Intendo un'analogia diretta con l'intento originale di Proofs dal libro. Ho visto riduzioni che sono terribilmente intelligenti e mi lasciano a bocca aperta su come quella sequenza di pensieri avrebbe potuto accadere a chiunque. Mentre tali riduzioni mi lasciano con un preciso senso di timore reverenziale, quelli non sono gli esempi che sto cercando di raccogliere in questo contesto.

Quello che sto cercando sono riduzioni che sono descritte senza troppe difficoltà e che sono forse leggermente sorprendenti, per il motivo che sono facili da capire ma non facili da inventare. Se stimate che la riduzione in questione richiederà una lezione da coprire, probabilmente non si adatta al conto, anche se sono sicuro che potrebbero esserci delle eccezioni in cui l'idea di alto livello è elegante e il diavolo è nei dettagli (per la disco, non sono sicuro di poter pensare a nessuno).

L'esempio che ho dato è stato volutamente semplice e, si spera, in qualche modo - se non perfettamente - illustrativo di queste caratteristiche. La prima volta che ho sentito parlare del multi-cut è stato in una classe, e il nostro istruttore ha iniziato dicendo che non solo è NP-difficile in generale, è NP-difficile anche se limitato agli alberi ... {pausa drammatica} di altezza uno . Ricordo di non essere stato in grado di dimostrarlo immediatamente, anche se sembra ovvio in retrospettiva.

Suppongo che in retrospettiva sia ovvio che descriva attentamente ciò che sto cercando. Non sono sicuro che ciò abbia a che fare con la complessità della descrizione - forse ci sono situazioni in cui qualcosa di apparentemente oscuro potrebbe classificarsi come elegante - sentiti libero di mettere in evidenza i tuoi esempi (eccezioni?), Ma apprezzerei davvero una giustificazione. Dato che dopo un certo punto questa è una questione di gusti, dovresti sicuramente sentirti libero di trovare ciò che vedo come follemente complesso, perfettamente bello. Non vedo l'ora di vedere una varietà di esempi!

Rabin mostra l'unicità di (x ^ 2 mod N = pq) senza la fattorizzazione di N mediante una riduzione che mostra che se si può prendere il modulo di radici quadrate N = pq allora si può fattorizzare N.

Nell'apprendimento automatico, ci sono molte riduzioni interessanti. Ecco alcuni esempi:

• classificazione multiclasse in classificazione binaria ( link ) - si può risolvere un problema di scelta tra molte classi risolvendo problemi più facili di scelta tra due.
• apprendimento forte di apprendimento debole ( potenziamento ) - si possono ottenere tassi di errore arbitrariamente bassi, data la possibilità di ottenere risultati leggermente migliori rispetto a quelli casuali.
• classifica alla classificazione ( link )
• perdita quadrata di classificazione ( sondaggio ): è possibile stimare le probabilità di appartenenza alla classe utilizzando un classificatore con un tasso di errore ridotto.

Un tutorial di Alina Beygelzimer, John Langford e Bianca Zadrozny copre alcuni altri.

Teorema di Cook-Levin

Qualsiasi problema in NP può essere ridotto in polytime da una macchina di turing deterministica a SAT. Per riferimento vedi 1 .

Moltiplicazione intera per trasformazioni veloci di Fourier!

Teorema di Rice

Uno dei miei preferiti. Riduce il problema di arresto a qualsiasi set di indici (o al suo complemento). Vedere, ad esempio, Sipser, problema 5.28.

SAT a 3SAT

$k$$k \gt 3$

Da 3SAT a 3COL

Utilizzo dei gadget per ridurre 3SAT al problema di decidere se un grafico è colorabile con 3 colori. Per riferimento vedi 1 .

Nel senso di dire - oh che era semplice - a posteriori:

riducendo l'ordinamento a un problema di scafo convesso.

COPERCHIO ESATTO DI 3 SET PER SUBSET SUM

$U=\{1,2,\ldots,3m\}$$S_1,\ldots,S_n$$U$$m$$U$

$w_1,\ldots,w_n$$K$$K$

$S_i$$\{0,1\}^{3m}$$n+1$$S_i$$w_i=\sum_{j\in S_i} (n+1)^{3m-j}$$K=\sum_{j=0}^{3m-1} (n+1)^j$

(La mia fonte era il libro di Papadimitriou.)