I problemi PRIMES, FACTORING sono noti per essere P-hard?

Lascia che PRIMES (aka test di primalità ) sia il problema:

Dato un numero naturale , è un numero primo? $n$ $n$

Lascia che FACTORING sia il problema:

Dati i numeri naturali , con , ha un fattore con ? $n$ $m$ $1 \leq m \leq n$ $n$ $d$ $1 < d < m$

È noto se PRIMES è P-hard? Che ne dici di FACTORING? Quali sono i ribassi più noti per questi problemi?

— km
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No, IIRC è aperto se Primes è P-hard. Penso che lo stesso valga per FACTORING.

— Kaveh,

Immagino che una domanda alternativa potrebbe essere: ci sono conseguenze per PRIMES o FACTORING essere P-hard?

— Suresh Venkat,

@Suresh: questa è una bella domanda. Potresti postarlo separatamente?

— András Salamon,

In realtà è già stato chiesto il factoring: cstheory.stackexchange.com/questions/5096/…

— Suresh Venkat,

@Artem, sono d'accordo con András, sarebbe interessante una domanda sulle conseguenze della D-durezza di Primes. Ho anche modificato la domanda aggiungendo una domanda sui più bassi ribassi più noti.

— Kaveh,

Risposte:

PRIMES è noto per essere difficile per $\mathsf{TC^0}$ . Vedi il mio articolo con Saks e Shparlinski, " Un limite inferiore per la primalità " in JCSS 62 (2001). Da allora nessun miglioramento su questo fronte.

— Eric Allender
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sai se questo risultato di durezza vale anche se vogliamo solo

casuale

di tutti gliinteri

-bit da considerare? Dopo tutto questo potrebbe essere ancora in

giusto?

\frac{1}{n}

$\frac1 n$

n

$n$

A C C^{0}

$ACC^0$

— T ....

Factoring può essere ottenuto utilizzando un polylog circuito quantistico profondità e ZPP pre e post-elaborazione; vedi questo documento . Se fosse P-disco, qualsiasi algoritmo in P potrebbe essere fatto con polylog circuito profondità quantistica e la stessa pre e post-processing passi. Credo che questi passaggi sono elevamento a potenza modulare e frazioni continue, che a sembrare improbabile che sia abbastanza potente per risolvere P-completo problemi, anche con l'aggiunta di un polylog me circuito quantistico profondità. $n$ $n$ $n$

— Peter Shor
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