Varianti della galleria d'arte con visibilità a coppie?

Il tradizionale problema della galleria d'arte crea una regione e guardie con una certa nozione di visibilità e chiede il numero minimo di guardie che devono essere posizionate per vedere l'intera regione.

Qualcuno ha mai guardato le varianti della galleria d'arte in cui l'area di visibilità è invece definita da una coppia di guardie. Ad esempio, una formulazione potrebbe essere che un punto è coperto se c'è una coppia di protezioni il cui disco di delimitazione minimo lo copre?

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— Suresh Venkat
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Quis custodiet ipsos custodes?

— Artem Kaznatcheev

Bene, per rispondere alla domanda di @Artem, c'è una nozione di guardie collegate , che ha due varianti. Lascia che il grafico di visibilità sia definito con un vertice per ciascuna protezione e un bordo tra due vertici se le protezioni possono vedersi. Se il grafico di visibilità è collegato, tutte le protezioni sono protette (a volte chiamate "set di protezioni sorvegliate"). Una condizione più forte è che il grafico di visibilità abbia un singolo componente collegato. Quindi hai un set di protezioni collegate. E sì, c'è una buona dose di lavoro qui. Ho anche scritto un blog su un articolo.

— Aaron Sterling,

Spiacenti, quanto sopra dovrebbe leggere "se il grafico di visibilità non ha vertici isolati, tutte le guardie sono sorvegliate ..."

— Aaron Sterling,

"chi custodisce le guardie"? il mio latino è solo maiale :)

— Suresh Venkat,

Si noti che nella mia formulazione, non ho bisogno di collegare il grafico di visibilità indotto. Anche se questo potrebbe non essere un problema con i rettangoli paralleli agli assi, in realtà potrebbe essere un problema con le regioni che non sono così belle (come le regioni ellittiche). Ma il puntatore delle guardie connesse è buono: penso che probabilmente alcune varianti del mio problema possano essere affrontate in questo modo.

— Suresh Venkat,

Risposte:

Non sono a conoscenza di tali lavori. Tuttavia, mi aspetto che un tale problema sia NP-completo e, per i poligoni con buchi, sarebbe difficile approssimare quanto Set Set. Il problema relativamente semplice di protezione dei vertici / vertici, in cui le protezioni possono trovarsi solo sui vertici e solo i vertici devono essere protetti, è così difficile ( Eidenbenz, Stamm e Widmayer (2001) ).

Per i poligoni semplici, mi aspetto che un tale problema sarebbe:

NP-completo
APX-hard
Approssimabile entro un fattore di , dove opt è il numero ottimale di protezioni. $O(\log(\rm{opt}))$

Il problema di protezione dei vertici / vertici è difficile per APX per poligoni semplici ( Eidenbenz (1998) ).

I migliori algoritmi per il problema della galleria d'arte per poligoni semplici si basano sulla costruzione di piccole reti . Nei poligoni semplici, gli spazi della gamma indotti dai poligoni di visibilità hanno una dimensione VC costante. Anche i cerchi. Pertanto uno spazio di distanza indotto da poligoni di visibilità in un semplice poligono, cerchi e loro intersezioni e loro unioni, avrà anche una dimensione VC costante ed è possibile ottenere un algoritmo di approssimazione . $\varepsilon$ $O(\log(\rm{opt}))$

Ho pensato a questo problema un po 'per la mia tesi, ma sono giunto all'opinione che non esistessero varianti particolarmente interessanti che non sembravano ridurre abbastanza da vicino a un problema noto che riguardava la protezione individuale.

— James King
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Piuttosto tardi a questa domanda (scusate!). C'è almeno un po 'di lavoro.

(1) Questo sembra essere un documento di ricerca per studenti non laureati (Swarthmore): "Ottima copertura doppia nella galleria d'arte", Scott Dalane, Andrew Frampton, 2008, collegamento PDF . Dalla loro conclusione:

$\lfloor 2n/3 \rfloor$ $n^2$

$\lfloor 2n/3 \rfloor$

— Joseph O'Rourke
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Quindi ci ho pensato. Penso che la differenza principale tra la doppia copertura e il mio problema sia che esiste questo problema di "connessione". In altre parole, nessuna delle aree di visibilità delle due guardie viene attivata a meno che non siano "visibili" tra loro. È facile costruire esempi in cui è possibile coprire due volte una regione con guardie che non si vedono. Ora anche il problema delle guardie connesse è stato esaminato, ma in un contesto diverso che di nuovo non si applica qui - in particolare lì è necessario che il grafico di visibilità delle protezioni sia collegato e non ne ho bisogno.

— Suresh Venkat,

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Non proprio. non è pura visibilità. Una coppia di protezioni definisce una "regione di visibilità" e un punto è coperto se si trova nella regione di visibilità delle protezioni. È infatti possibile per le guardie che non possono vedersi l'un l'altro OPPURE il punto nel senso tradizionale della "linea di vista" per "coprire" il punto.

— Suresh Venkat,

Grazie per il chiarimento. Questo modello sembra diverso da qualsiasi cosa io conosca.

— Joseph O'Rourke,