Problemi al di fuori di P che non sono P-difficili

Mentre leggevo una risposta di Peter Shor e una precedente domanda di Adam Crume mi sono reso conto di avere delle idee sbagliate su cosa significhi essere $\mathsf{P}$ -hard.

Un problema è $\mathsf{P}$ -hard se qualsiasi problema in $\mathsf{P}$ è riducibile ad esso con riduzioni $\mathsf{L}$ (o se si preferisce $\mathsf{NC}$ ). Un problema è esterno a $\mathsf{P}$ se non esiste un algoritmo temporale polinomiale per risolverlo. Ciò significa che dovrebbero esserci problemi al di fuori di $\mathsf{P}$ ma che non sono $\mathsf{P}$ -hard. Se ipotizziamo che FACTORING sia al di fuori di $\mathsf{P}$ , la risposta di Peter Shor suggerisce che FACTORING potrebbe essere un tale problema.

Ci sono problemi noti (naturali o artificiali) che risiedono all'esterno di $\mathsf{P}$ ma che non sono $\mathsf{P}$ -hard? Che dire delle ipotesi più deboli di quelle di factoring? C'è un nome per questa classe di complessità?

cc.complexity-theory complexity-classes

— Artem Kaznatcheev
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Risposte:

Se allora nessun set rado (anche non calcolabile) può essere . $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ $\mathsf{P\text{-}hard}$

L'idea sbagliata deriva dal pensare alle classi di complessità (e ai problemi computazionali) come alla creazione di un ordine lineare che non è vero. L'uso della parola "durezza" per un problema può essere usato per risolvere altri problemi nella classe e contribuisce al malinteso. Un limite inferiore per un problema (cioè non essere in una classe di complessità) non implica che il problema sia difficile per la classe (cioè può essere usato per risolvere altri problemi nella classe). Non so se esiste una migliore terminologia alternativa per "durezza" attualmente in uso, una che è stata utilizzata nei decenni precedenti è "universalità" (che, IMHO, ha espresso il concetto più fedelmente, e quindi avremmo potuto usare "durezza" per non essere in classe, ma cambiare la terminologia stabilita è molto difficile).

— Kaveh
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alcuni dei diagrammi di Eulero che ho visto sulle classi di complessità hanno anche alimentato il secondo malinteso per me, che è quello che penso abbia causato la mia confusione sulla durezza X.

— Artem Kaznatcheev

@Artem, sì, anche questo è un fattore. Ecco cosa faccio in classe: menziono l'incomparabilità di

\mod p

$\mod p$

conriduzioni

, nella speranza che ciò aiuti gli studenti a evitare di pensare che tutto sia ordinato in modo lineare.

\mod q

$\mod q$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh,

la parte totale dell'ordine con cui ho molti meno problemi. In particolare, penso che NP e coNP siano abbastanza buoni da dimostrare che non dovremmo pensare alle classi di complessità che hanno un ordine totale.

— Artem Kaznatcheev

@Artem, buon punto (anche se non possiamo dimostrare che sono diversi). Penso che parte della ragione della terminologia sia la mancanza di limiti inferiori ragionevoli, non abbiamo un buon limite inferiore per SAT, ma pensiamo che sia difficile da risolvere perché è universale, ma la parola "universale" non lo fa dare la stessa sensazione di difficoltà di "difficile", specialmente ai non esperti. Ma ciò crea il problema perché, sebbene si possa sostenere che l'universalità di un problema implica che il problema è difficile da risolvere, la difficoltà di risolvere un problema non implica che il problema sia universale.

— Kaveh,

cioè i problemi universali sono difficili (almeno tanto quanto qualsiasi altro problema nella classe), ma i problemi difficili non devono essere universali.

— Kaveh,

Penso che puoi costruire un set non in che non sia $P$ $P$ -hard da un argomento in stile Ladner. Ecco un esempio specifico.

Nel suo articolo "Un approccio uniforme per ottenere set diagonali in classi di complessità" (Theor. Comp. Sci. 18, 1982), Schöning dimostra quanto segue:

Teorema Supponiamo che , , e siano classi di complessità presentabili in modo ricorsivo e siano chiuse con variazioni finite. Quindi c'è un set tale che , e se e $A_1 \notin C_1$ $A_2 \notin C_2$ $C_1$ $C_2$ $A$ $A \notin C_1$ $A \notin C_2$ $A_1 \in P$ $A_2$ non è banale (set vuoto o tutte le stringhe) allora è polifunzionale molti riducibile ad . $A$ $A_2$

Per applicare questo, impostare come set vuoto e come -completo in riduzioni polifunzionali, impostare come set di set -hard che si trovano in , impostare . Il set vuoto non può essere -hard (la definizione di -hardness per una lingua richiede che ci sia almeno un'istanza nella lingua e un'istanza non in). è sicuramente in . Il e $A_1$ $A_2$ $EXP$ $C_1$ $P$ $EXP$ $C_2 = P$ $P$ $P$ $A_2$ $C_2$ $C_1$ $C_2$ può essere verificato per soddisfare le condizioni di cui sopra (simile a come fa Schoening per gli insiemi completi di ; vedere anche questa domanda correlata ). Così si ottiene un che non è un problema -Hard in , e che non è in . Ma poiché e non sono banali, è molti uno riducibile a $NP$ $A$ $P$ $EXP$ $A$ $P$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $EXP$ set -complete, quindi è in . Pertanto, in particolare, $EXP$ $A$ non può essere neanche -hard. $P$

Nell'argomentazione di cui sopra, la restrizione ai problemi di -hard in è necessaria per garantire la presentabilità ricorsiva, poiché i problemi di P-hard nel loro insieme non sono presentabili in modo ricorsivo e neppure numerabili . Ora, esempi "naturali" di questo sono una storia diversa ... $P$ $EXP$

— Ryan Williams
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Mi piace come questo passa attraverso anche se

. A meno che non abbia frainteso qualcosa.

L = P

$L = P$

— Artem Kaznatcheev

@Artem: se si considera la durezza nella riducibilità dello spazio di registro, allora ogni linguaggio non banale è L-difficile. Pertanto, se L = P, non vi sono lingue al di fuori di P che sono P-hard sotto la riducibilità dello spazio di log.

— Tsuyoshi Ito,

Un altro modo per generare problemi che sono al di fuori di P ma non P-hard è quello di prendere problemi completi per le classi incomparabili con P. Dire che una classe X è incomparabile con P, nel senso che nessuno dei due è un sottoinsieme dell'altro. Quindi un problema con X completo è necessariamente esterno a P (altrimenti P includerebbe X) e non è P-difficile (altrimenti X includerebbe P).

Ho provato a pensare ad alcune classi incomparabili con P, ma P è una classe abbastanza solida, quindi non ci sono troppe classi di questo tipo. Ad esempio, RNC e QNC potrebbero essere incomparabili con P. DSPACE ( ) potrebbe anche essere incomparabile con P. PolyL è incomparabile con P, ma non ha problemi completi nelle riduzioni dello spazio di . $\log^2$

— Robin Kothari
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A mio avviso, questa è quasi la stessa domanda formulata diversamente, e non è necessariamente un modo per rispondere alla domanda. In effetti, la lingua A non è né in P né in P-hard se e solo se la classe di lingue riducibile ad A è incomparabile con P (prendi la tua nozione preferita di riducibilità). Per quanto riguarda l'attuale domanda, penso che sia più probabile che sia utile nella direzione opposta; cioè, questo è un altro modo di interpretare le risposte alla domanda attuale.

— Tsuyoshi Ito,