Uccelli ubriachi vs formiche ubriache: passeggiate casuali tra due e tre dimensioni

È noto che una camminata casuale nella griglia bidimensionale tornerà all'origine con probabilità 1. È anche noto che la stessa camminata casuale in TRE dimensioni ha una probabilità strettamente inferiore a 1 di tornare all'origine .

La mia domanda è:

C'è qualcosa nel mezzo? Ad esempio, supponiamo che il mio spazio fosse in realtà una regione limitata del piano estrusa all'infinito nella direzione z. (quello che viene spesso chiamato 2,5 dimensionale). Si applicano i risultati bidimensionali o tridimensionali?

Ciò è emerso nelle discussioni e un'argomentazione euristica che afferma che si comporta in modo bidimensionale è che, poiché la regione finita del piano sarà coperta alla fine, l'unica parte non banale del cammino è il raggio 1 dimensionale lungo la direzione z, e quindi ritorna all'origine accadrà.

Ci sono altre forme che si interpolano tra il caso bidimensionale e quello tridimensionale?

Aggiornamento (tratto dai commenti): una domanda correlata è stata posta su MO - un breve riassunto è che se la camminata è anche (2 + ϵ) dimensionale, il ritorno incerto segue vagamente da una serie divergente. Tuttavia, la domanda di cui sopra è leggermente diversa dall'IMO poiché sto chiedendo altri tipi di forme che potrebbero ammettere un certo ritorno.

pr.probability random-walks markov-chains

— Suresh Venkat
fonte

Non so molto sull'argomento ma la percolazione mi è venuta in mente! Che ne dici di camminare a caso sulle percolazioni? Sembra essere un candidato per risultati dimensionali frazionari per qualsiasi .

n > 1

$n > 1$

— vs

in che senso intendi in mezzo? Non sembra esserci molto tra 1 e rigorosamente inferiore a 1; vuoi che l'intermedio sia rispetto alla dimensione dello spazio? In altre parole, una risposta deve essere una passeggiata su qualcosa con una misura naturale della dimensione?

— Artem Kaznatcheev

Nota: una domanda correlata è stata posta su MO: mathoverflow.net/questions/45098/… - un breve riassunto è che se la camminata è anche dimensionale, allora il ritorno incerto segue vagamente da una serie divergente. Tuttavia, la domanda sopra è leggermente diversa poiché sto chiedendo altri tipi di forme che potrebbero ammettere un certo ritorno.

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

— Suresh Venkat,

Passeggiate casuali su curve frattali .

— Aaron Sterling,

Per una regione limitata del piano estrusa all'infinito lungo l' asse , abbiamo essenzialmente a che fare con una linea ispessita anziché con un piano ingrassato; come tale, mi aspetterei che il comportamento sia più vicino al caso monodimensionale rispetto al caso bidimensionale.

z

$z$

— James King,

Risposte:

Probability on Trees and Networks di Peres and Lyons lo menziona nel Capitolo 2 (pagina 50):

Un modo per dare un senso a questo è chiedere il tipo di spazi intermedi tra e . Ad esempio, considera il cuneo $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} := {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
dove è una funzione crescente. Il numero di bordi che lasciano è dell'ordine , quindi secondo il Criterio di Nash-Williams, $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
è sufficiente per la ricorrenza.

— Marcin Kotowski
fonte

questo è un riferimento eccellente e ha una tecnica generale per determinare quando tali passeggiate divergono. Bello !

— Suresh Venkat,

Una camminata casuale 3-D in uno spazio 3x3x3 (come un cubo di rubik) ha una probabilità inferiore a quella di tornare all'origine, se la camminata inizia all'esterno; ma quello di uno spazio 2x2x2 è uno, così come lo spazio 3x3x3 con l'origine al centro. Quindi sembra che ci siano alcune forme intermedie, ma forse non molte.

— xpda
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Ma un toroide è bidimensionale. Non trovo sorprendente che sarebbe tornato al suo punto di partenza. Sembra un caso speciale di 2D.

— John Moeller,

E limitato! Dovrebbe essere ancora più facile tornare all'origine che nel piano.

— Derrick Stolee,

Oops, hai ragione. Lo modificherò in un'altra forma.

— xpda,