Conseguenze di

Sappiamo che se crolla l'intero PH. E se la gerarchia polinomiale collassasse parzialmente? (O come capire che il PH potrebbe collassare sopra un certo punto e non sotto?)$P=NP$

In parole più brevi, quali sarebbero le conseguenze di e ?P ≠ N $NP=coNP$$P\ne NP$

Per me, una delle conseguenze più basilari e sorprendenti di è l'esistenza di prove brevi per tutta una serie di problemi in cui è molto difficile capire perché dovrebbero avere prove brevi. (Si tratta di fare un passo indietro rispetto a "Quali altre implicazioni di complessità ha questo collasso?" A "Quali sono le ragioni basilari e concrete di questo collasso sarebbero sorprendenti?")$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Ad esempio, se , quindi per ogni grafico che non è hamiltoniano, c'è una breve prova di questo fatto. Allo stesso modo per i grafici che non sono tricolori. Allo stesso modo per coppie di grafici che non sono isomorfi. Allo stesso modo per qualsiasi tautologia proposizionale .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

In un mondo in cui , la difficoltà nel provare tautologie proposizionali non è che alcune tautologie brevi abbiano lunghe prove - perché in un mondo simile ogni tautologia ha una prova polinomialmente breve - ma piuttosto che ce ne sono alcune altra ragione per cui non siamo in grado di trovare quelle prove in modo efficiente.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Se assumiamo anche , l'ipotesi causerebbe anche il collasso di classi randomizzate:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ . Sebbene questi siano tutti ipotizzati per collassare incondizionatamente in P , comunque, è ancora aperto se ciò accada effettivamente. In ogni caso, N P = c o N P non sembra implicare in sé il collasso di queste classi randomizzate.$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

In caso contrario, abbiamo almeno , quindi, insieme solo con l' ipotesi N P = c o N P , ciò avrebbe un'altra conseguenza importante:$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ . Ciò deriva dal risultato di Babai, Fortnow, Nisan e Wigderson, che dice che se tutti unari (tally) lingue in P H cadono in P , allora B P P = P . Pertanto, se B P P ≠ P , allora possono non rientrano tutti in P , come N P = c o N P assunzione implica P H = N P . Pertanto, ci deve essere un linguaggio di conteggio in N P - $\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$. Infine, la presenza di un linguaggio di conteggio in è ben noto per implicare E ≠ N E .$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

Gli spettacoli ragionamento sopra l'effetto interessante che la ipotesi, pur essendo un collasso, effettivamente amplifica la separazione potere di B P P ≠ P , in quanto quest'ultimo da solo non è noto per implicare E ≠ N E . Questa "anomalia" sembra supportare l'ipotesi B P P = P .$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

Ci sono due definizioni per il conteggio classi al di là . Uno è stato definito da Valiant e l'altro è stato definito da Toda.${\bf \#P}$

Per qualsiasi classeC, definire#C=∪ A ∈ C (#P) A , dove( # P A)indica le funzioni contando i percorsi accettazione delle macchine di Turing polinomiali non deterministici aventiA'l loro oracolo.${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

Secondo la definizione di Valiant abbiamo già ${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

Per qualsiasi classeC, definire#. Cdeve essere la classe di funzioniftale che per alcuniC-predicato calcolabile a due argomentiRe alcuni polinomip, per ogni stringaxsostiene che:f(x)=| | {y| p(${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$e R ( x , y ) } | | .$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

Per definizione di Toda abbiamo se e solo se N P = C o N P .${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

Se poi anche supporre che allora avremmo F P ≠ # P .${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko Ha dimostrato che esiste un oracolo che fa crollare il PH al livello k-esimo. Vedi "Ker-I Ko: Gerarchie temporali polinomiali relativizzate con livelli di K esatti. SIAM J. Comput. 18 (2): 392-408 (1989)".