Dato un grafico, decidere se la connettività del bordo è almeno n / 2 o meno

Il capitolo 1 del libro The Probabilistic Method, di Alon e Spencer menziona il seguente problema:

Dato un grafico , decidere se la connettività del suo bordo è almeno o meno. $G$ $n/2$

L'autore cita l'esistenza di un algoritmo Matula e migliora a . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

La mia domanda è: qual è il tempo di esecuzione più noto per questo problema?

Vorrei descrivere l'algoritmo migliorato.

Innanzitutto, decidi se ha il suo grado minimo almeno o meno. In caso contrario, la connettività perimetrale è chiaramente inferiore a . $G$ $n/2$ $n/2$

Quindi, in caso contrario, calcola un insieme dominante di di dimensione . Questo può essere fatto nel tempo , mediante un algoritmo descritto nella sezione precedente del libro. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Successivamente, utilizza il seguente non molto difficile per dimostrare il fatto:

Se il grado minimo è , quindi per qualsiasi taglio di spigolo di dimensioni al massimo che divide in e , qualsiasi insieme dominante di deve avere i suoi vertici in e . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

Ora considera l'insieme dominante . Poiché ha grado minimo , qualsiasi taglio bordo di dimensione inferiore a deve anche separare . Quindi per ogni , troviamo la dimensione del taglio del bordo più piccolo che separa e . Ognuna di queste cose può essere fatto in tempo $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ utilizzando un algoritmo a flusso massimo. Così il tempo totale impiegato è . $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
fonte

A proposito, ovviamente un miglioramento dell'algoritmo di flusso massimo porterà anche qui a un miglioramento. Ma credo che

è il miglior algoritmo max-flow noto attualmente?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak,

Forse sto fraintendendo qualcosa, ma l'algoritmo di taglio casuale randomizzato di Karger-Stein non ha tempo di esecuzione

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov,

il tempo di esecuzione previsto? L'algoritmo che ho descritto è completamente deterministico.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak,

L'algoritmo è Monte Carlo: si completa sempre in tempo

e produce il taglio minimo con alta probabilità. La probabilità di guasto dipende inversamente dal tempo di esecuzione, ovviamente. Scusa, dato che la tua citazione è Alon-Spencer, ho appena pensato che l'algoritmo fosse randomizzato :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov,

Se stai cercando un algoritmo deterministico, penso che dovresti specificarlo nella domanda. Non sono a conoscenza di un algoritmo deterministico migliore di

per il taglio minimo (vedere Stoer-Wagner per un algoritmo semplice che raggiunge questo tempo di esecuzione). È interessante quanto meglio possiamo fare in modo deterministico per il problema che specifichi (l'8 / 3 nell'esponente sembra innaturale per un limite migliore, ma chi lo sa).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov,

Puoi facilmente verificarlo in tempo lineare, poiché un grafico ha una connettività del bordo almeno se e solo se il suo grado minimo è almeno . Hai già sostenuto la parte "solo se". Considera ora un grafico in cui ogni vertice ha grado almeno e un taglio che divide il grafico in due set di vertici e con . Un vertice in può avere al massimo connessioni ad altri vertici in $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ , e quindi deve contribuire altaglio con almeno. Pertanto, il taglio deve avere dimensioni almeno . Resta da mostrare che , che è vero dal $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ . $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Stranamente, l'unico riferimento che trovo a questo risultato è questo da una conferenza bioinformatica. Sarei davvero curioso di vedere se è stato provato altrove.

Modifica: un riferimento precedente è: Gary Chartrand: un approccio grafico-teorico a un problema di comunicazione , SIAM J. Appl. Matematica. 14-4 (1966), pagg. 778-781.

— Falk Hüffner
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