Uno spazio topologico legato al SAT: è compatto?

Il problema della soddisfazione è, ovviamente, un problema fondamentale nella CS teorica. Stavo giocando con una versione del problema con infinite variabili. $\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

Configurazione di base. Sia $X$ un insieme di variabili non vuoto e forse infinito . Un letterale è una variabile $x \in X$ o la sua negazione $\neg x$ . Una clausola $c$ è una disgiunzione del numero finito di letterali . Infine, definiamo una formula $F$ come un insieme di clausole .

Un'assegnazione di $X$ è una funzione $\sigma : X \to \{0,1\}$ . Non definirò esplicitamente la condizione per quando un incarico $\sigma$ soddisfa una clausola; è leggermente ingombrante ed è lo stesso del SAT standard. Infine, un incarico soddisfa una formula se soddisfa ogni clausola costitutiva. Sia $\sat(F)$ l'insieme di compiti soddisfacenti per $F$ , e sia $\unsat(F)$ il complemento di $\sat(F)$ .

Uno spazio topologico.

Il nostro obiettivo è di dotare lo spazio di tutti i compiti di $X$ , chiamato this $\Sigma$ , con una struttura topologica . I nostri set chiusi sono nella forma $\sat(F)$ dove $F$ è una formula. Possiamo verificare che questa sia davvero una topologia:

• La formula vuota $\emptyset$ che non contiene clausole è soddisfatta da tutte le assegnazioni; così $\Sigma$ è chiuso.
• La formula $\{ x, \neg x \}$ per qualsiasi $x \in X$ è una contraddizione. Quindi $\emptyset$ è chiuso.
• Chiusura sotto intersezione arbitraria. Supponiamo $F_{i}$ è una formula per ciascun $i \in I$ . Quindi $\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$ .
• Chiusura in unione finita. Supponiamo che $F$ e $G$ siano due formule e definiscano $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ Quindi $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$ . Questo ha bisogno di un argomento, ma lo salterò.

Chiama questa topologia $\mathcal T$ , la "topologia di soddisfazione" (!) Su $\Sigma$ . Naturalmente, gli insiemi aperti di questa topologia sono nella forma \ unsat (F)$\unsat(F)$ . Inoltre, ho osservato che la collezione di aperti

Compatto? Sento che questo è un modo interessante, se non terribilmente utile, di guardare le cose. Voglio capire se questo spazio topologico possiede proprietà interessanti tradizionali come la compattezza, la connessione, ecc. In questo post, ci limiteremo alla compattezza:

Lascia che sia una raccolta infinitamente numerabile di variabili. ¹ Is compatta sotto ?$X$$\Sigma$$\mathcal T$

Si può provare quanto segue

Proposizione. è compatto se e solo per tutte le formule insoddisfacibile , esiste un insieme finito sottoformula insoddisfacibile .$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(Esercizio non così difficile!) Dopo diversi giorni di riflessione, non ho molti progressi nel rispondere a questa domanda. Inoltre non ho prove concrete a favore o contro la compattezza. Puoi suggerire qualche approccio?

Infine, come domanda bonus:

Una tale struttura è stata studiata prima?

¹ La limitazione alla numerabile è solo per semplicità; sembra anche il prossimo passo naturale dal numero finito di variabili.$X$

Quello che stai facendo è derivare una rappresentazione topologica di un'algebra booleana. Lo studio delle rappresentazioni delle algebre booleane risale almeno a Lindenbaum e Tarski che hanno dimostrato (nel 1925, credo) che le algebre booleane atomiche complete sono isomorfe ai reticoli di powerset.

Vi sono tuttavia algebre booleane che non sono complete e atomiche. Ad esempio, la sequenza , è una catena discendente che non ha limiti nell'algebra booleana definita sulle formule. La questione se algebre booleane arbitrarie, come quella da te menzionata, avesse anche rappresentazioni basate sul set è stata risolta da Marshall Stone , che ha presentato la massima "sempre topologizzata" (Marshall H. Stone. La rappresentazione di algebre booleane , 1938) .$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

Teorema di rappresentazione di Stone per algebre booleane Ogni algebra booleana è isomorfa al reticolo dei sottogruppi di clopen di uno spazio topologico.

L'idea principale è quella di considerare quali nel tuo caso sono gli incarichi soddisfacenti per una formula. Nel caso generale, si considerano gli omomorfismi da un'algebra booleana all'algebra booleana a due elementi (i valori di verità). L'inverso di ti dà le serie di incarichi soddisfacenti, o quelli che sono chiamati ultrafiltri dell'algebra booleana. Da questi, si può ottenere una topologia chiamata lo spettro o lo spazio di pietra di un'algebra booleana. Stone fornisce anche la risposta alla tua domanda.$\mathit{true}$

Lo spazio di pietra di un'algebra booleana è uno spazio Hausdorff compatto e totalmente disconnesso.

Ci sono stati diversi risultati che estendono e generalizzano la rappresentazione di Stone in varie direzioni. Una domanda naturale è chiedere se altre famiglie di reticoli hanno tali rappresentazioni. I risultati di Stone si applicano anche ai reticoli distributivi. Le rappresentazioni topologiche per reticoli arbitrari furono fornite da Alasdair Urquhart nel 1978. I reticoli distributivi godono di una maggiore diversità nella struttura, rispetto alle algebre booleane e sono di grande interesse. Una diversa rappresentazione per il caso distributivo fu data da Hilary Priestley nel 1970, usando l'idea di uno spazio topologico ordinato . Invece di rappresentazioni basate su insiemi, possiamo trovare rappresentazioni e topologie basate su poset.

Le costruzioni in questi documenti hanno una proprietà notevole. La costruzione di Stone mappa non solo le algebre booleane agli spazi topologici: le relazioni strutturali relative alle algebre booleane si traducono in proprietà strutturali tra le topologie risultanti. È una dualità tra le categorie. L'intera gamma di tali risultati si chiama Stone Duality . Informalmente, le dualità ci danno traduzioni precise tra universi matematici: il mondo combinatorio degli insiemi, il mondo algebrico dei reticoli, il mondo spaziale della topologia e il mondo deduttivo della logica. Ecco alcuni punti di partenza che possono aiutare.

1. Il capitolo 11 di Introduzione a reticoli e ordine , di Davey e Priestley, tratta il teorema di Stone.
2. Le diapositive di Matthew Gwynne coprono il teorema e forniscono una prova di compattezza. Matthew (nei commenti) suggerisce anche Introduzione alle algebre booleane di Paul Halmos.
3. Passando dalla logica proposizionale alla logica modale, l'algebra booleana viene estesa con un operatore che preserva l'unione e una topologia con un interno. L'articolo di Jónsson e Tarski del 1952, Algebre booleane con operatori è estremamente leggibile e coerente con la notazione moderna.
4. Il capitolo 5 di Modal Logic di Blackburn, de Rijke e Venema tratta il teorema di Stone e la sua estensione alle algebre booleane con operatori.
5. Stone Spaces di Peter Johnstone esamina questi risultati per vari altri tipi di algebre.