Dove e come i computer hanno aiutato a dimostrare un teorema?

Lo scopo di questa domanda è quello di raccogliere esempi dall'informatica teorica in cui l'uso sistematico dei computer è stato utile

1. nella costruzione di una congettura che porta a un teorema,
2. falsificazione di una congettura o approccio di prova,
3. costruire / verificare (parti di) una prova.

Se hai un esempio specifico, descrivi come è stato fatto. Forse questo aiuterà gli altri a utilizzare i computer in modo più efficace nelle loro ricerche quotidiane (che sembra essere ancora una pratica abbastanza rara nel TCS ad oggi).

(Contrassegnato come wiki della comunità, poiché non esiste una sola risposta "corretta".)

Un esempio molto noto è il Teorema dei quattro colori , originariamente dimostrato da un controllo esauriente.

$n$

Mostrare che il problema della triangolazione del peso minimo (MWT) era NP-difficile era un problema aperto di vecchia data, reso difficile dal fatto che le lunghezze dei bordi coinvolgono radici quadrate e la precisione desiderata necessaria per calcolare questi con precisione era difficile da legare.

Mulzer e Rote hanno dimostrato che MWT era NP-difficile e nel processo hanno utilizzato l'assistenza informatica per verificare la correttezza dei loro gadget. Per quanto ne so, non esistono prove alternative.

La prova di Thomas Hales (il suo sito, MathSciNet ) della congettura di Keplero comportava così tanta analisi dei casi - e i casi furono a loro volta verificati al computer - che decise di tentare una prova formale di ciò. Il suo progetto per farlo è FlysPecK e stima che ci vorranno 20 anni di lavoro.

I ricercatori in Linguaggi di programmazione usano regolarmente prove computerizzate nel loro lavoro, anche se non so quanto sia essenziale in termini di processo di ricerca (certamente impedisce loro di scrivere tonnellate di noiose manipolazioni).

Doron Zeilberger ha svolto alcuni lavori nel campo delle prove generate al computer. In particolare, ha preparato un programma Maple per dimostrare le identità geometriche e un altro programma per dimostrare una classe di identità combinatorie . Alcuni dei metodi sono menzionati nel libro A = B .

I computer sono stati utilizzati anche per determinare limiti superiori dei tempi di esecuzione dei programmi di backtracking che risolvono i problemi NP-hard e costruire gadget per dimostrare risultati di inapprossimabilità. Questo e altri argomenti divertenti ti attendono in un breve saggio (avvertimento, estrema autopromozione in anticipo) intitolato "Applicazione della pratica alla teoria". Vedi http://arxiv.org/abs/0811.1305

Data questa bella lista, sembra che dovrei aggiornare il documento!

Recentemente, Francisco Santos ha proposto un controesempio della congettura di Hirsch , importante per la programmazione lineare e la combinatoria poliedrica. La verifica computerizzata è stata utilizzata per stabilire alcune delle proprietà richieste nell'esempio, sebbene successivamente siano stati scoperti argomenti senza l'assistenza del potere computazionale, cfr. Il blog post di Gil Kalai o l' articolo su arxiv .

Non l'ho mai visto menzionato qui, ma un proveratore di teoremi automatizzato ha risolto il problema aperto di vecchia data se le algebre di Robbins sono booleane:

http://www.cs.unm.edu/~mccune/papers/robbins/

Ciò è particolarmente evidente perché il computer ha sviluppato l'intera dimostrazione e il problema era stato aperto per diversi decenni.

Non sono completamente sicuro se si qualifica come TCS, ma probabilmente è strettamente correlato.

L' algoritmo Karloff-Zwick per MAX-3SAT raggiunge le prestazioni previste 7/8. Tuttavia, l'analisi si basa su disuguaglianze di volume sferiche non dimostrate. Queste disuguaglianze furono infine confermate tramite prove assistite da computer in un altro documento di Zwick .

Oltre alla dimostrazione di Hales alla congettura di Keplero, come menzionato sopra, anche la dimostrazione alla congettura di Honeycomb e quella alla congettura di Dodecaedro sono assistite dal computer.

Puoi dare un'occhiata alla homepage di Shalosh B. Ekhad . Questo computer ha pubblicato documenti per un po '(di solito con coautori).

Christian Urban ha usato l'assistente di prova Isabelle per verificare che uno dei principali teoremi nella sua tesi di dottorato fosse in realtà un teorema [1]. Utilizzando l'assistente, è stato necessario apportare alcune modifiche, ma il risultato è stato praticamente in piedi.

Allo stesso modo, Urban e Narboux hanno anche scoperto errori in una prova a penna e su carta della prova di completezza di Crary per il controllo di equivalenza.

Meikle e Fleuriot formalizzarono il Grundlagen di Hilbert ad Isabelle e dimostrarono che, contrariamente a quanto asserito da Hilbert, stava ancora facendo affidamento sulla sua intuizione di formalizzare la geometria in modo assiomatico (IIRC c'erano buchi nella sua dimostrazione derivati ​​da Hilbert che ipotizzava qualcosa sui diagrammi) [3] .

[1]: Revisiting Cut-Elimination: una prova difficile è davvero una prova

[2]: Formalizzazione nella prova di completezza nominale di Isabelle Crary per il controllo dell'equivalenza

[3]: Formalizzazione di Grundlagen di Hilbert a Isabelle / Isar

I risultati in " La geometria degli alberi di ricerca binari " di Demaine, Harmon, Iacono, Kane e Patraşcu sono stati sviluppati con l'aiuto di software per testare vari schemi di ricarica e costruire culi ottimali per sequenze di accesso di piccole dimensioni. (E sì, "asini" è il termine corretto.)

N. Shankar verificò (completamente e meccanicamente) la prova di Godel del teorema di incompletezza e della Chiesa - teorema di Rosser che utilizzava Boyer - teorema teorema di Moore. C'è un libro che descrive come è stato fatto.

La formula per l' algoritmo Bailey-Borwein-Plouffe di calcolare l'ennesimo bit di Pi senza calcolare uno dei bit più significativi è stata scoperta, secondo Simon Plouffe , utilizzando sistemi a prova di computer.

Esistono numerosi esempi nell'analisi del caso medio di algoritmi. Forse alcuni dei primi sono gli esperimenti al computer che hanno portato alla pubblicazione "Alcuni risultati inattesi sul comportamento previsto per l'imballaggio dei rifiuti" di Bentley, Johnson, Leighton, McGeoch e McGeoch in STOC 1984.