Una variante di Critical SAT in DP

Una lingua è nella classe se ci sono due lingue e tale che $L$ $DP$ $L1 \in NP$ $L2 \in coNP$ $L = L1 \cap L2$

Una canonica problema -Complete si SAT-UNSAT: dato due espressioni 3-CNF, e , è vero che è soddisfacibile e non è? $DP$ $F$ $G$ $F$ $G$

Il problema SAT critico è anche noto per essere completo: data un'espressione 3-CNF , è vero che non è soddisfacente ma l'eliminazione di qualsiasi clausola lo rende soddisfacente? $DP$ $F$ $F$

Sto considerando la seguente variante del problema SAT critico: data un'espressione 3-CNF , è vero che è soddisfacente ma l'aggiunta di una clausola 3 (da ma utilizzando le stesse variabili di ) lo rende insoddisfacente? Ma non riesco a trovare una riduzione da SAT-UNSAT o anche dimostrare che è o difficile. $F$ $F$ $F$ $F$ $NP$ $coNP$

La mia domanda: questa variante DP è completa?

Grazie per le tue risposte.

— Xavier Labouze
fonte

Non ero a conoscenza di DP: classe interessante, soprattutto se CRITICAL-SAT è completo per questo.

— Suresh Venkat,

Se ci sono due assunti soddisfacenti

, allora

non è massimo. (supponiamo che differiscano sulla variabile

, quindi

non è implicito dalla formula e l'aggiunta o una clausola che lo contiene non cambierà la soddisfacibilità.) Se riusciamo a trovare una clausola non implicita dalla formula in tempo polinomiale, possiamo aggiungere che è negazione alla formula e semplicemente usando la regola della clausola unitaria. Alla fine troveremo il valore di tutte le variabili per un compito soddisfacente. Quindi dobbiamo solo verificare se la formula è equivalente alla formula canonica per quel compito.

τ \neq τ^{'} ⊨ φ

$\tau\neq\tau' \vDash \varphi$

φ

$\varphi$

p

$p$

p

$p$

— Kaveh,

@Kaveh: ho frainteso la tua raffinata domanda. Nella tua versione della domanda, "non esiste una clausola che non è implicita dalla formula e può essere aggiunta ad essa senza renderla insoddisfacente" equivale alla condizione che esista esattamente un incarico soddisfacente, ed è uno standard USA - problema completo (quindi coNP-hard).

— Tsuyoshi Ito,

Xavier: Hai ragione nel dire che la lingua nella versione di @ Kaveh è un sottoinsieme della lingua nella tua versione. Ma ciò non implica la riducibilità tra i due problemi (in entrambe le direzioni). Ricorda che una riduzione deve associare sì-istanze a si-istanze e no-istanze a no-istanze.

— Tsuyoshi Ito,

Scusa, ho scritto nella direzione opposta. La lingua nella tua versione è un sottoinsieme della lingua nella versione di Kaveh.

— Tsuyoshi Ito,

Risposte:

[L'ho trasformato in una risposta corretta b / c qualcuno l'ha dato -1]

Se qualsiasi clausola è permesso da aggiungere, quindi la lingua è vuota - chiaramente a qualsiasi formula soddisfacibile è possibile aggiungere una clausola di 3 fatta di variabili che non compaiono in : sarà soddisfacibile. $F$ $c$ $F$ $F \cup \{ c \}$

$F$

La giustificazione è la seguente:

$F \in L$ $F \in SAT$ $c$ $F$ $F \cup \{c\} \in UNSAT$ $c = l_1 \lor l_2 \lor l_3 \notin F$ $l_i$ $F \cup \{ c \}$ $F$ $l_i=0$ $i=1,2,3$ $l_1=1$ $c$ $F \cup \{c\}$ $c'$ $c$ $c' \notin F$ $c' = \neg l_1 \lor l_2 \lor l_3$ $F$ $l_1 = 1$ $F \in L$ $c \in F$ $F$ $c$ $F$ $F$ $F$ scontro, che può essere chiaramente fatto in tempo lineare.

— Anton Belov
fonte

La tua osservazione è fondamentalmente: per avere la risposta Sì, F deve contenere esattamente sette delle otto clausole su qualsiasi scelta di tre variabili distinte. Pertanto, trovare l'assegnazione univoca (o rilevare l'incoerenza) è facilmente eseguibile in tempi polinomiali.

— Tsuyoshi Ito,

@Xavier: I due problemi possono sembrare simili, ma l'osservazione di Anton mostra che sono semplicemente molto diversi. Questo è molto comune nella complessità computazionale. Esempi tipici includono il confronto tra 2SAT e 3SAT e tra il circuito di Eulerian e il circuito di Hamilton.

— Tsuyoshi Ito,

@Xavier - La risposta di Tayfun non è corretta . Mostra che il problema è in DP - va bene, qualsiasi problema in P è automaticamente in DP. Per dimostrare che il problema è DP completo, deve mostrare la riduzione a un altro problema completo DP (ad esempio la prima variante di SAT critico). Ho inviato la modifica alla sua risposta, ma è in coda per "peer review".

— Anton Belov,

@Anton: di solito non è consigliabile modificare le risposte inviate da altri utenti in modo drastico. Se ritieni che la risposta di Tayfun sia fondamentalmente errata, non dovresti provare a risolverla modificandola.

— Tsuyoshi Ito,

È evidente dal problema SAT-UNSAT che per una formula si verifica la soddisfacibilità per l'altra formula si verifica l'insoddisfacibilità ... Nel preambolo sat critico originale non si dà per scontato che la formula booleana data sia insoddisfacente. Devi controllarlo. Lo stesso con la versione Xaviers, devi verificare che la formula booleana data sia soddisfacente.

— Tayfun paga il

-1

Posso proporre una risposta alla mia domanda grazie ai tuoi commenti: la variante di Critical SAT è in P.

$F$ $F$ $F$

$F$ $F$

$F$

$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

$F$ $F$

$F$ $\binom{n}{3}$ $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ $n$

— Xavier Labouze
fonte

Hai riformulato il problema originale a tuo piacimento.

— Tayfun paga il

Non sono sicuro della versione 3-SAT. Data una formula booleana in CNF con clausole M e variabile N, IF M = (3 ^ N) - (2 ^ N), allora la formula booleana indicata è INSATISFIABILE o ha solo UNA soluzione. Anche così, per verificare la soddisfazione in quell'istanza è ancora NP. Non è possibile che la tua versione sia in P.

— Tayfun Pay

@Xavier: questa risposta sembra corretta, ma penso che sia la stessa cosa che Anton fa nella sua risposta.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi, hai ragione, sto solo introducendo il Problema 2 la cui prima parte (testando se una formula contiene tutte le clausole che implica) mi interessa - a proposito, hai qualche idea sulla complessità di questa prima parte?

— Xavier Labouze,