Qual è il punto della conversione

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Penso di non capirlo, ma la conversione mi sembra una conversione che non fa nulla, un caso speciale di conversione cui il risultato è solo il termine nell'astrazione lambda perché non c'è nulla da fare, tipo di inutile conversione . $\eta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Quindi forse -conversion è qualcosa di veramente profondo e diverso da questo, ma, se lo è, non lo capisco e spero che tu mi possa aiutare. $\eta$

(Grazie e scusa, so che questo fa parte delle basi del calcolo lambda)

lo.logic lambda-calculus extensionality

— Trylks
fonte

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Aggiornamento [2011-09-20]: ho ampliato il paragrafo riguardante -expansion e estensionalità. Grazie ad Anton Salikhmetov per avermi indicato una buona referenza. $\eta$

-conversion è un caso speciale di - conversionesolonel caso speciale quando è esso stesso un'astrazione, ad es. se then $\eta$ $(\lambda x . f x) = f$ $\beta$ $f$ $f = \lambda y . y y$ Ma cosa succede se è una variabile o un'applicazione che non si riduce a un'astrazione?

(λ x . f x) = (λ x . (λ y . y y) x) =_{β} (λ x . x x) =_{α} f .

$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$

f

$f$

In un certo senso -rule è come un tipo speciale di estensioni, ma dobbiamo stare un po 'attenti a come viene affermato. Possiamo affermare l'estensione come: $\eta$

per tutti gli -term e , se quindi , oppure $\lambda$ $M$ $N$ $M x = N x$ $M = N$
per tutte se quindi . $f, g$ $\forall x . f x = g x$ $f = g$

La prima è una meta-dichiarazione sui termini del calcolo . In esso appare come una variabile formale, cioè fa parte del calcolo . Può essere provato da -rules, vedere ad esempio Teorema 2.1.29 in "Lambda Calculus: its Syntax and Semantics" di Barendregt (1985). Può essere inteso come un'affermazione su tutte le funzioni definibili , cioè quelle che sono denotazioni di term. $\lambda$ $x$ $\lambda$ $\beta\eta$ $\lambda$

La seconda affermazione è come i matematici di solito comprendono le dichiarazioni matematiche. La teoria del calcolo descrive un certo tipo di strutture, chiamiamole " modelli ". Un modello potrebbe non essere numerabile, quindi non vi è alcuna garanzia che ogni suo elemento corrisponda a un termine (proprio come ci sono più numeri reali di quante siano le espressioni che descrivono i reali). Estensionalità dice poi: se prendiamo tutte le due cose e in un -model, se per tutti nel modello, allora $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $f$ $g$ $\lambda$ $f x = g x$ $x$ $f = g$ . Ora, anche se il modello soddisfa la regola , non è necessario soddisfare l'estensione in questo senso. (È necessario un riferimento qui e penso che dobbiamo stare attenti a come viene interpretata l'uguaglianza.) $\eta$

Esistono diversi modi in cui possiamo motivare le conversioni e . Prenderò a caso quello teorico-categoria, mascherato da -calculus, e qualcun altro può spiegare altre ragioni. $\beta$ $\eta$ $\lambda$

Consideriamo il calcolo tipizzato (perché è meno confuso, ma più o meno lo stesso ragionamento funziona per il calcolo non tipizzato ). Una delle leggi fondamentali che dovrebbero tiene in mano è la legge esponenziale (Sto usando le notazioni e intercambiabile, selezionando quale sembra avere un aspetto migliore.) Cosa fanno gli isomorfismi e $\lambda$ $\lambda$

C^{A \times B} ≅ (C^{B})^{A} .

$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$

A \to B

$A \to B$

B^{A}

$B^A$

i : C^{A \times B} \to (C^{B})^{A}

$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$

sembra, scritto in

-calculus? Presumibilmente sarebbero

e

j : (C^{B})^{A} \to C^{A \times B}

$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$

λ

$\lambda$

i = λ f : C^{A \times B} . λ a : A . λ b : B . f ⟨ a, b ⟩

$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$

Un breve calcolo con un paio di

-reductions (compreso il

-reductions

e

per prodotti) ci dice che, per ogni

abbiamo

j = λ g : (C^{B})^{A} . λ p : A \times B . g (π_{1} p) (π_{2} p) .

$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$

β

$\beta$

β

$\beta$

π_{1} ⟨ a, b ⟩ = a

$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$

π_{2} ⟨ a, b ⟩ = b

$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$

g : (C^{B})^{A}

$g : (C^B)^A$

Dal momento che

e

sono inverse l'una dell'altra, ci aspettiamo che

, ma in realtà dimostrare questo abbiamo bisogno di usare

-riduzione due volte:

i (j g) = λ a : A . λ b : B . g a b .

$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$

i

$i$

j

$j$

i (j g) = g

$i (j g) = g$

η

$\eta$

Quindi questa è una ragione per avereriduzioni

. Esercizio: qualeregola

è necessaria per mostrare che

?

i (j g) = (λ a : A . λ b : B . g a b) =_{η} (λ a : A . g a) =_{η} g .

$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$

η

$\eta$

η

$\eta$

j (i f) = f

$j (i f) = f$

— Andrej Bauer
fonte

β

$\beta$

β η

$\beta\eta$

β η

$\beta\eta$

η

$\eta$

β

$\beta$

η

$\eta$

1

=

$=$

=_{β}

$=_{\beta}$

M x = N x

$Mx=Nx$

M = N

$M=N$

M = N

$M=N$

M =_{β η} N

$M=_{\beta\eta}N$

η

$\eta$

M

$M$

N

$N$

1

@AndrejBauer Sono d'accordo sul fatto che η-rule non è la piena estendibilità, ma non pensi che sia ancora una forma limitata di estendibilità, cioè rappresenta una classe di casi evidenti di estendibilità. La domanda originale è alla ricerca di motivazioni e concetti, e in questo caso credo che sia utile pensare in termini di estensione (con una certa attenzione, ovviamente, non andare troppo lontano).

— Marc Hamann,

9

Per rispondere a questa domanda, possiamo fornire la seguente citazione dalla monografia corrispondente “Calcolo Lambda. La sua sintassi e semantica “(Barendregt, 1981):

$\beta\eta$ $\lambda$ $\lambda + \text{ext}$ $\text{ext}$ $M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[La sua dimostrazione si basa sul seguente teorema.]

$\lambda + \text{ext}$ $\lambda\eta$ $(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$ $N$ $\lambda\eta \vdash M = N$ $\lambda\eta + M = N$

Le teorie complete di HP [dopo Hilbert – Post] corrispondono alle teorie massime coerenti nella teoria dei modelli per la logica del primo ordine.

7

$\lambda$ $\beta$ $\eta$

$\lambda x y.x$ $\lambda x y.y$ $\beta\eta$ $\beta\eta$
$\iota$
1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$
2. $\beta\eta$ $t$ $u$ $t=_\iota u$ $t\neq_{\beta\eta}u$

$t$ $u$ $t=_{\beta\eta\iota}u$

Questa è una conseguenza del teorema di Böhm.

— cody
fonte

6

$\eta$

$=_{\beta \eta}$ $\rightarrow_{\beta\eta}$ $M=N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$ $=_{\beta}$

$=_{\beta}$ $=_{\beta\eta}$ $\lambda x. Mx = M$ $Mx=Nx$ $M=N$

— Marcin Kotowski
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η

$\eta$

Vedi Teorema 2.1.29 nella monografia di Barendregt (Lambda Calculus and its Semantics, 1985).

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ξ

$\xi$

E a mia volta non sono troppo felice che la felicità e le risposte "sentite" simili attirino più attenzione delle citazioni pertinenti dirette con i riferimenti corrispondenti.

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

α

$\alpha$

β

$\beta$