Cosa si sa delle prove interattive multi-prover con messaggi brevi?

Beigi, Shor e Watrous hanno un bellissimo documento sulla potenza delle prove interattive quantistiche con brevi messaggi. Considerano tre varianti di "brevi messaggi" e quella specifica a cui tengo è la loro seconda variante in cui è possibile inviare un numero qualsiasi di messaggi, ma la lunghezza totale del messaggio deve essere logaritmica. In particolare dimostrano che tali sistemi di dimostrazione interattivi hanno il potere espressivo di BQP.

Quello che voglio sapere è se ci sono risultati analoghi per l'impostazione multi-prover, sia per i verificatori classici che quantici. Sono noti risultati di complessità non banale per prove interattive multi-prover in cui la lunghezza totale di tutti i messaggi è limitata per essere logaritmica nella dimensione del problema?

Caso completamente classico (MIP)

Se il verificatore è classico e non vi è alcun coinvolgimento precedente tra i dimostratori, la tua classe contiene BPP∪NP ed è contenuta in MA .

È banale che BPP abbia un limite inferiore. Per dimostrare che la classe contiene NP, si consideri il sistema di prova interattivo one-round standard a due prover per la colorabilità a 3 con perfetta completezza e errore di solidità 1−1 / poli. Se si desidera ridurre l'errore di solidità a una costante, combinarlo con il teorema del PCP.

Per quanto riguarda il limite superiore, vale la seguente affermazione più forte: MIP con la limitazione che la lunghezza totale del messaggio dal verificatore a ciascun prover è O (log n ) è uguale a MA. Questo perché una strategia di ciascun prover può essere descritta da una stringa di lunghezza polinomiale.

È interessante notare che esiste un altro limite superiore quando il sistema ha una completezza perfetta. Vale a dire, i sistemi di prova interattivi multi-prover con perfetta completezza con la comunicazione totale a O (log n ) bit riconoscono al massimo P ^{NP [log]} , e questo vale anche se consentiamo un errore di solidità illimitato. Per dimostrare questo, nel caso di due sperimentatori, lasciate x _s sia la concatenazione di tutte le risposte fornite dalla prima cella quando la concatenazione di tutte le domande alla prima cella è s , e definire y _t analogamente per la seconda cella. Per essere accettato dal verificatore con certezza, queste variabili x _s e y _tdeve soddisfare determinati vincoli e notare che si tratta di un 2CSP. Esistono al massimo poli ( n ) scelte per le tuple ( s , t , x _s , y _t ) e per ogni scelta, possiamo usare l'oracolo NP per verificare se il verificatore rifiuta quella tupla. Pertanto, con l'oracolo NP, possiamo elencare tutti i vincoli sulle variabili x _s e y _tin tempo polinomiale. Infine, usiamo ancora una volta l'oracolo NP per verificare se esiste un'assegnazione a queste variabili che soddisfa tutti i vincoli. Sebbene questo algoritmo utilizzi l'oracolo NP polinomialmente molte volte, tutte le query tranne l'ultima possono essere fatte in parallelo, e quindi questo può essere convertito in un algoritmo P ^{NP [log]} . Il caso di più di due prover è analogo.

Questo limite superiore implica che, sebbene ogni sistema MA possa essere trasformato in uno con una completezza perfetta, non possiamo sperare in un sistema a prova interattiva multi-prover con una completezza perfetta con la comunicazione O (log n ) -bit a meno che MA⊆P ^{NP [log]} . Non so quanto sia improbabile l'inclusione di MA⊆P ^{NP [log]} , ma noto solo che Complexity Zoology afferma che esiste un oracolo rispetto al quale BPP⊈ P ^NP (e quindi chiaramente MA⊈P ^{NP [log]} ).

(Nel caso del singolo prover, il Teorema 2 di Goldreich e Håstad [GH98] implica che IP con la lunghezza totale del messaggio O (log n ) bit è uguale a BPP.)

Aggiunto . Una caratterizzazione necessaria e sufficiente è la seguente.

Per spiegare questa caratterizzazione, abbiamo bisogno di una variante del concetto di riducibilità di Karp (riducibilità multi-tempo polinomiale). Per due problemi di decisione A e B , supponiamo che A sia FP ^BPP- riducibile a B (lo so, questo è un nome terribile) quando esiste una macchina di Turing deterministica in tempo polinomiale M con accesso all'oracolo BPP che mappa sì- istanze a sì-istanze e no-istanze a non-istanze, in cui consentiamo l'accesso all'oracolo "non intelligente" (nel senso che M grado di fare una query all'oracolo BPP su un'istanza che non soddisfa la promessa del problema BPP, nel qual caso l'oracolo restituisce sì o no arbitrariamente). Quindi si può dimostrare che le seguenti condizioni su un problema A sono equivalenti.

(i) A ha un sistema di prova interattivo multi-prover con comunicazione O (log n ) bit ed errore limitato su due lati.
(ii) A ha un sistema di prova interattivo one-round a due prover con comunicazione O (log n ) bit, errore di completezza esponenzialmente piccolo ed errore di solidità costante.
(iii) A è FP ^BPP- riducibile a un problema in NP.

(Idea di prova: l'implicazione (ii) ⇒ (i) è banale. L'implicazione (i) ⇒ (iii) può essere ottenuta in modo simile alla dimostrazione di cui sopra in caso di errore unilaterale. Implicazione (iii) ⇒ (ii ) deriva dal teorema del PCP perché la classe di problemi che soddisfano la condizione (ii) è chiusa sotto la credibilità della FP ^BPP .)

Verificatore classico con prover aggrovigliati (MIP *)

Quindi prendi in considerazione il caso con un verificatore classico e dimostratori aggrovigliati. In questo caso, la classe con errore associato contiene nuovamente BPP∪NP.

Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner e Vidick [KKMTV11] mostra che ogni problema in NP ha un sistema di prova interattivo a tre turni one-round con perfetta completezza ed errore di solidità 1−1 / poly dove la lunghezza totale dei messaggi è O ( log n ) bit, e la solidità vale contro i tester aggrovigliati. Pertanto, MIP * con lunghezza totale del messaggio O (registro n ) bit ed errore limitato contiene NP. Un risultato successivo di Ito, Kobayashi e Matsumoto [IKM09] (spina spudorata) riduce il numero di tester da tre a due. Il caso della solidità costante è aperto in cima alla mia conoscenza.

Non è noto se MIP * con bit di lunghezza totale del messaggio O (log n ) sia contenuto o meno nella classe R di problemi decidibili, e questa domanda equivale al fatto che MIP * ⊆R (un altro problema aperto) dall'argomento padding.

Riferimenti

[GH98] Oded Goldreich e Johan Håstad. Sulla complessità delle prove interattive con comunicazione limitata. Lettere per l'elaborazione delle informazioni , 67 (4): 205–214, agosto 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi e Keiji Matsumoto. Oracolarizzazione e prove interattive one-round a due prover contro strategie non locali. Atti: ventiquattresima conferenza annuale IEEE sulla complessità computazionale (CCC 2009) , 217–228, luglio 2009. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner e Thomas Vidick. I giochi aggrovigliati sono difficili da approssimare. SIAM Journal on Computing , 40 (3): 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293