Prove quantistiche di teoremi classici

Sono interessato ad esempi di problemi in cui un teorema che apparentemente non ha nulla a che fare con la meccanica / informazione quantistica (ad esempio afferma qualcosa sugli oggetti puramente classici) può comunque essere provato usando strumenti quantistici. Un sondaggio Quantum Proofs for Classical Theorems (A. Drucker, R. Wolf) fornisce un bel elenco di tali problemi, ma sicuramente ce ne sono molti altri.

Particolarmente interessanti sarebbero gli esempi in cui una dimostrazione quantistica non è solo possibile, ma anche "più illuminante", in analogia con l'analisi reale e complessa, in cui mettere un problema reale nell'impostazione complessa spesso la rende più naturale (ad esempio, la geometria è più semplice poiché è algebricamente chiuso, ecc.); in altre parole, problemi classici per i quali il mondo quantistico è il loro "habitat naturale".$\mathbb{C}$

(Non sto definendo "quantumness" qui in alcun senso preciso e si potrebbe sostenere che tutti questi argomenti alla fine si riducono ad algebra lineare; beh, si può anche tradurre qualsiasi argomento usando numeri complessi per usare solo coppie di reali - ma allora ?)

C'è un recente articolo di Scott Aaronson che fornisce una nuova prova che il permanente è # P-difficile. Questa dimostrazione si basa sul modello dell'informatica quantistica lineare-ottica ed è più intuitiva di quella di Leslie Valiant.

A mio avviso, mi piace il seguente documento:

Katalin Friedl, Gabor Ivanyos, Miklos Santha. Test efficienti di gruppi. In STOC'05.

Qui definiscono un tester "classico" per i gruppi abeliani. Tuttavia, prima iniziano dando un tester quantico, quindi proseguono eliminando tutte le parti quantistiche.

Quello che mi piace di questo articolo è che usano il tester quantico per ottenere intuizione e usarlo per affrontare il problema. Può sembrare un approccio più difficile (a partire dal quantistico e dal classico), ma gli autori sono noti ricercatori nel calcolo quantistico. Quindi forse per loro è più facile iniziare con quello.

Direi che il loro principale contributo tecnico è un tester per l'omomorfismo, che usano per eliminare le parti quantistiche.

Due risultati molto recenti e interessanti:

• Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary e Ronald de Wolf hanno dimostrato che "non esiste un programma lineare di dimensioni polinomiali (LP) i cui progetti polytope associati al venditore politope viaggiante, anche se l'LP non deve essere simmetrico "(citato dall'estratto).
  Usano la complessità della comunicazione quantistica come strumento. Vedi il loro articolo e il post sul blog di Gil Kalai . Nota anche il commento di Dave sotto il post di Gil Kalai. Non ho ancora letto il documento, quindi non posso commentare me stesso su dove e come vengono usate le cose quantistiche.

• Andrew M. Childs, Shelby Kimmel e Robin Kothari hanno usato la complessità della query quantistica per dimostrare limiti inferiori per una misura molto classica, che è il conteggio della porta di formula di funzioni come PARITY. Vedi il loro giornale .

Dato che i permanenti forniscono le ampiezze di probabilità dei risultati della misurazione dei bosoni dopo che interferiscono in un interferometro lineare, Scheel ha ottenuto una semplice prova "quantistica" che il valore assoluto del permanente di qualsiasi matrice unitaria è 1 ( http://arxiv.org/abs / quant-ph / 0406127 ).

• vedi anche il calcolo classico abbraccia le idee quantistiche una sorta di panoramica / indagine semi-pop-scientifica di questo fenomeno di dicotomia classica / quantistica di Wolchover che scrive per l'istituto Simons con alcuni esempi e indicazioni / riferimenti.

Negli ultimi anni, le idee quantistiche hanno aiutato i ricercatori a dimostrare la sicurezza di promettenti schemi di crittografia dei dati chiamati cryptosystems basati su reticoli, alcune applicazioni delle quali possono proteggere le informazioni sensibili degli utenti, come il DNA, persino dalle aziende che le elaborano. Una prova di calcolo quantistico ha anche portato a una formula per la lunghezza minima dei codici di correzione degli errori, che sono garanzie contro la corruzione dei dati.

Le idee quantistiche hanno anche ispirato una serie di importanti risultati teorici, come la confutazione di un vecchio algoritmo errato che sosteneva di risolvere efficacemente il problema del famoso venditore ambulante, che chiede come trovare il percorso più veloce attraverso più città.

• un altro esempio recente simile alla direzione di ricerca delle prove naturali Razborov / Rudich (che collegava le separazioni delle classi di complessità alla rottura di generatori di numeri casuali)

Un limite inferiore quantico per distinguere le funzioni casuali dalle permutazioni casuali Henry Yuen

Il problema di distinguere tra una funzione casuale e una permutazione casuale su un dominio di dimensione N è importante nella crittografia teorica, dove la sicurezza di molti primitivi dipende dalla durezza del problema. Studiamo la complessità della query quantistica di questo problema ...