-norm preservando macchine di Turing

Leggendo alcuni recenti thread sull'informatica quantistica ( qui , qui e qui ), mi fanno ricordare un'interessante domanda sulla potenza di una sorta di macchina per preservare -norm.$\ell_p$

Per le persone che lavorano nella teoria della complessità andando alla complessità quantistica un ottimo testo introduttivo è l'articolo di Fortnow il cui link è stato pubblicato da Joshua Grochow qui . In quel documento, la macchina di Turing quantistica è presentata come una macchina di Turing probabilistica generalizzata. Fondamentalmente, la macchina probabilistica hanno uno stato normalizzato sotto il ℓ 1 -norm, cioè ∥ s ∥ 1 = 1 . L'evoluzione temporale della macchina è data dall'applicazione di una matrice stocastica P tale che ∥ P s ∥ 1 = 1 , ovvero P preserva il$s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$ -norm. Quindi lo stato al momento t è P t s (la notazione potrebbe non essere precisa perché la moltiplicazione sinistra o destra di P dipende se s è un vettore di riga o colonna o le righe o colonne di P sono gli spazi secondari che preservano la norma). Quindi, in questo senso, la probabilistica macchina di Turing è unamacchina preservatrice ℓ 1 -denotata M ℓ 1 .$\ell_1$$t$$P^ts$$P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

Quindi una macchina quantistica di Turing può essere vista come avente uno stato con ∥ s ∥ 2 = 1 e matrice unitaria P (che conserva ℓ 2 -sistenti) tale che P t s è lo stato al momento t dove ∥ P t s ∥ 2 = 1 . Questo è un ℓ 2 -norm macchina preservare denotato M ℓ 2 .$s$$\parallel s\parallel_2=1$$P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

Lasciate che una macchina per la conservazione di -norm sia generalmente indicata con M ℓ p .$\ell_p$$M^{\ell_p}$

Quindi le mie domande sono:

(1) Che potenza di -norm preservando macchine per finita p ? Più formalmente, possiamo dimostrare che per ogni dato p e q , se q > p allora esiste un linguaggio L e una macchina M ℓ q tale che M ℓ q decide efficacemente$\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$ e non v'è nessuna macchina M ℓ P che decide in modo efficiente L . Ad esempio, questa potrebbe essere una generalizzazione della domanda, è N P ⊆ B Q P ?.$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

(2) Che dire di ? Qui il valore massimo dei componenti del vettore di stato è 1.$p=\infty$

(3) Queste domande vanno oltre l'unità, quindi non ci si aspetta che siano d'accordo con la meccanica quantistica. In generale, cosa succede con il calcolo se allenti la restrizione unitaria alle operazioni? Ci sono lavori per consentire operatori non lineari (vedi Aaronson 2005 ).

(4) Forse il più importante, è universale? Penso che questo sia chiaro, perché per casi particolari è universale. Ma cosa succede con l'universalità quando ?$p=\infty$

Questa non è una risposta completa alle domande, ma è troppo lunga per scrivere come commento. Espande il mio commento precedente.

La domanda "Cosa succede al calcolo se gli assiomi della meccanica quantistica vengono leggermente modificati?" È affrontata in modo molto dettagliato da un divertente documento [Aar04] di Scott Aaronson. Credo che le vostre domande abbiano essenzialmente una risposta nella prima metà della sezione 2 di [Aar04].

Aaronson mostra che se p> 0 e p ≠ 2, allora una matrice che preserva la p-norma per tutti i vettori è necessariamente una matrice di permutazione generalizzata (un prodotto di una matrice di permutazione e una matrice diagonale). Egli afferma che lo stesso vale nel caso p = ∞. Tutti questi valgono sia per ℝ che per ℂ. Si noti che questo include il caso di p = 1: le matrici stocastiche preservano la norma 1 per i vettori non negativi ma non per tutti i vettori in generale.

Immagino che una macchina di Turing probabilistica generalizzata come in [For00] abbia una matrice di permutazione generalizzata come matrice di transizione globale solo se è una macchina di Turing deterministica, ma non ho una prova a portata di mano.

Aaronson discute anche diverse altre modifiche degli assiomi della meccanica quantistica nel documento. Ad esempio, se cambiamo la regola di misurazione (anziché l'insieme delle porte consentite) in modo che il risultato x si verifichi con probabilità | α _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , dove α _y è l'ampiezza di | y⟩, allora questo "computer quantistico" può risolvere qualsiasi problema in PP (compresi i problemi NP-completi) in tempo polinomiale, a meno che p = 2 (Proposizione 5).

Riferimenti

[Aar04] Scott Aaronson. La meccanica quantistica è un'isola in teoria copyspace? In Atti della conferenza di Växjö "Quantum Theory: Reconsideration of Foundations", 2004. arXiv: quant-ph / 0401062 v2.

[For00] Lance Fortnow. Il punto di vista di un teorico della complessità dell'informatica quantistica. In Informatica: the Australasian Theory Symposium (CATS 2000), pagg. 58–72, gennaio 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$ . Il problema è che se la norma del vettore di stato diminuisce, le probabilità non si sommano più a una. Aaronson ha considerato il caso in cui rinormalizzeresti il ​​vettore dopo ogni passaggio (vedi i link nella risposta di @ Tsuyoshi sopra). Credo che la conclusione sia stata che queste macchine avrebbero avuto un grande potere.

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$