Colorazione approssimativa del grafico con un limite superiore promesso sul set massimo indipendente

Nel mio lavoro sorge il seguente problema:

Esiste un algoritmo noto che approssima il numero cromatico di un grafico senza un insieme indipendente di ordine 65? (Quindi alpha (G) <= 64 è noto e | V | / 64 è un limite inferiore banale, | V | un limite superiore banale. Ma ci sono approssimazioni meglio provate in questa condizione speciale?)

E se ci rilassassimo al numero cromatico frazionario? E a "buoni" tempi di esecuzione in casi medi?

— cyrix42
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Penso che questa sia un'ottima domanda per questo sito; speriamo che qualcuno abbia una buona risposta.

— Jukka Suomela,

@TysonWilliams: penso che la domanda sia perfettamente chiara. Dimentica il commento, rileggi la domanda. :)

— Jukka Suomela,

La cosa divertente è che queste condizioni garantiscono che l'approssimazione banale è un'approssimazione di 64 all'ottimale. Mi chiedo se solo la promessa di un piccolo numero di indipendenza possa dare un algoritmo migliore.

— Sasho Nikolov,

Il problema è motivato dall'applicazione pratica? In tal caso, ci si dovrebbe concentrare su euristiche interessanti che stanno andando bene - migliorare la banale approssimazione 64 non è poi così interessante.

— Chandra Chekuri,

O (n^{64})

$O(n^{64})$

Risposte:

Calcola una corrispondenza massima nel complemento del grafico di input. Ogni nodo senza pari deve essere in una diversa classe di colore in qualsiasi colorazione. Quindi: se ottieni almeno cn bordi abbinati, allora la stessa corrispondenza ti dà una colorazione con un limite superiore di (1-c) n e un rapporto di approssimazione di 64 (1-c). Se non si ottengono almeno cn bordi, si ottiene un limite inferiore di (1 - 2c) n colori e un rapporto di approssimazione di 1 / (1-2c). Risolvere l'equazione 64 (1-c) = 1 / (1-2c) porta a un rapporto di approssimazione leggermente più grande di 32; vedi il commento di Sasho Nikolov per il valore preciso.

— David Eppstein
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c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

$H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

— Andrew D. King
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Correzione minore: non è vero che il numero di colorazione è uguale al minor numero di colori in una colorazione golosa. Se ordini i vertici in base ai loro colori in una colorazione ottimale (con la proprietà aggiuntiva che la prima classe di colore è massima, e la seconda è massima nel grafico rimanente ecc.), L'algoritmo avido troverà la stessa colorazione ottimale.

— David Eppstein,