Decidere se un dato calcola una permutazione

Qual è la complessità nel decidere se un con bit di input e bit di output calcola una permutazione di ? in altre parole, se ogni stringa di bit in è un'uscita del circuito per un certo ingresso? Sembra un problema che è stato studiato, ma non riesco a trovare riferimenti. nn{0,1 } n {0,1 } $\mathsf{NC}^0$$n$$n$$\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$

Durezza

A seguito del tuo commento sulla domanda, chiameremo un circuito in cui ogni bit di uscita dipende al massimo dai bit di ingresso k un " circuito NC ⁰ _k ". Usando questo termine, il tuo problema è completo in caso di circuiti NC ⁰ ₅ . Cioè, il seguente problema è completo.

Istanza : un circuito booleano C con n bit di input e n bit di output in cui ciascun bit di output dipende al massimo da cinque bit di input.
Domanda : la mappatura da {0,1} ⁿ a se stessa viene calcolata dal biettivo C ?

Come ha commentato Kaveh, è ​​chiaramente in coNP, anche senza il limite del numero di bit di input da cui dipende ogni bit di output. Per dimostrare la durezza del coNP, ridurremo 3SAT a complemento dell'attuale problema. L'idea chiave della riduzione è la stessa utilizzata nel documento [Dur94] di Durand, che ho citato in un commento sulla domanda, ma nel nostro caso l'intera riduzione è molto più semplice.

Data una formula 3CNF φ con n variabili e m clausole, viene costruito un circuito booleano C con ( n + m bit di ingresso) e ( n + m bit di uscita) come segue. Etichettiamo i bit di input come x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m e i bit di output come x ′ ₁ , ..., x ′ _n , z ₁ , ..., z _m . Consideriamo che i bit di input x₁ ,…, x _n specifica un'assegnazione di verità alle n variabili in φ .

• x ′ _i = x _i per 1≤ i ≤ n . Cioè, i primi n bit di input vengono sempre copiati nei primi n bit di output.
• Per 1≤ i ≤ m , se l' i esima clausola di φ è soddisfatta, allora z _i = y _i ⊕ y _{i +1} , dove l'interpretazione è interpretata modulo m . Altrimenti, z _i = y _i .

Si noti che ciascun bit di uscita dipende al massimo da cinque bit di ingresso. Ometto la prova della correttezza della riduzione, ma l'idea chiave (che ho preso in prestito da [Dur94]) è che se φ è soddisfacente e i bit di input x ₁ , ..., x _n sono impostati su un'assegnazione soddisfacente di φ , allora i bit di uscita m z ₁ ,…, z _m sono vincolati per avere la parità pari e quindi il circuito non può essere una permutazione. D'altra parte, se i bit di input x ₁ ,…, x _n sono impostati su un'assegnazione non soddisfacente di φ , quindi i bit di output z₁ , ..., z _m può essere impostato su qualsiasi cosa; per questo motivo, se φ non è soddisfacente, il circuito è una permutazione.

Trattabilità

Sul lato trattabile, il problema è in P in caso di circuiti NC ⁰ ₂ . Questo è mostrato come segue. In generale, ogni bit di uscita in un circuito booleano per una permutazione è bilanciato ; cioè, esattamente la metà delle stringhe di input imposta il bit di uscita su 1. Tuttavia, ogni funzione booleana bilanciata da {0,1} ² a {0,1} è affine ; vale a dire, una copia di un singolo bit di input, l'XOR dei due bit di input o la loro negazione. Pertanto, possiamo prima verificare che ciascun bit di uscita sia bilanciato, quindi controllare la biettività dall'eliminazione gaussiana.

Non conosco la complessità nel caso di circuiti NC ⁰ ₃ o nel caso di circuiti NC ⁰ ₄ .

Riferimenti

[Dur94] Bruno Durand. Inversione di automi cellulari 2D: alcuni risultati di complessità. Theoretical Computer Science , 134 (2): 387–401, novembre 1994. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 .