Esiste una logica senza induzione che cattura gran parte di P?

Il teorema di Immerman-Vardi afferma che PTIME (o P) è precisamente la classe di linguaggi che può essere descritta da una frase di Logica del Primo Ordine insieme a un operatore a virgola fissa, rispetto alla classe delle strutture ordinate. L'operatore a virgola fissa può essere sia a virgola fissa (come considerato da Immerman e da Vardi), sia a virgola fissa inflazionistica. (Stephan Kreutzer, Equivalenza espressiva della logica a virgola fissa minima e inflazionistica , Annali di logica pura e applicata 130 61–78, 2004).

Yuri Gurevich ha ipotizzato che non vi sia alcuna logica per catturare il PTIME ( Logic and the Challenge of Computer Science , in Current Trends in Theoretical Computer Science, ed. Egon Boerger, 1–57, Computer Science Press, 1988), mentre Martin Grohe ha dichiarato di essere meno sicuro ( The Quest for a Logic Capturing PTIME , FOCS 2008).

L'operatore a virgola fissa ha lo scopo di catturare il potere della ricorsione. I punti fissi sono potenti, ma per me non è ovvio che siano necessari.

Esiste un operatore X che non si basa su punti fissi, in modo tale che FOL + X acquisisca un frammento (grande) di PTIME?

Modifica: per quanto ho capito, la logica lineare può esprimere solo affermazioni su strutture che hanno una forma abbastanza restrittiva. Idealmente, vorrei vedere un riferimento o uno schizzo di una logica in grado di esprimere le proprietà di insiemi arbitrari di strutture relazionali, evitando comunque punti fissi. Se sbaglio sul potere espressivo della logica lineare, allora un puntatore o un suggerimento sarebbero i benvenuti.

Volete dare un'occhiata a quello che alcune persone chiamano il teorema di Grädel. Lo si può trovare nel libro di Papadimitriou "complessità computazionale" (è Teorema 8.4 a pagina 176) o in originale di Grädel carta .

In poche parole, il teorema di Grädel sta a P quello che il teorema di Fagin sta a NP. Afferma che sulla classe delle strutture finite con una relazione successiva, la raccolta di proprietà decidibili del tempo polinomiale coincide con quelle esprimibili nel frammento di corno della logica esistenziale del secondo ordine. Queste sono le frasi della logica del secondo ordine della forma cui R è una sequenza di variabili di relazione di secondo ordine, x è una sequenza di variabili di primo ordine e ϕ è un quantificatore formula libera che, quando scritta in forma CNF, è una congiunzione di

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$- Clausole di Horn (ovvero clausole che hanno al massimo un atomo non negato che coinvolge le variabili in ).$R$

Per quanto ho capito, la logica lineare può esprimere solo affermazioni su strutture che hanno una forma abbastanza restrittiva. Idealmente, vorrei vedere un riferimento o uno schizzo di una logica in grado di esprimere le proprietà di insiemi arbitrari di strutture relazionali, evitando comunque punti fissi. Se sbaglio sul potere espressivo della logica lineare, allora un puntatore o un suggerimento sarebbero i benvenuti.

Questo non è giusto: tutti i reticoli monoidali commutativi residui sono modelli di logica lineare. Ecco un modo semplice per creare un tale reticolo da grafici finiti. Inizia con il set

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

Quindi la nostra relazione forzante sarà e l'intuizione è che n è l'insieme di nodi "posseduti" dalla formula ϕ . Esiste un'operazione parziale ( ⋅ ) : M × M → M , definita come: ( g , n ) ⋅ ( g ′ , n ′ ) = { ( g , n ⊎ n ′ ) quando  g = $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

Questo combina due elementi unendo i loro set posseduti, se i grafici sono uguali e i set posseduti sono disgiunti.

Ora, possiamo dare un modello di logica lineare come segue:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

Questo modello è in realtà una variante di quelli utilizzati nella logica di separazione, ampiamente utilizzato nella verifica di programmi di manipolazione dell'heap. (Se ti piace, pensa al grafico come alla struttura del puntatore dell'heap e l'analogia è esatta!)

Questo non è davvero il modo giusto di pensare alla logica lineare, però: le sue intuizioni reali sono teoriche della dimostrazione e la connessione alla complessità avviene attraverso la complessità computazionale del teorema dell'eliminazione del taglio. La teoria dei modelli della logica lineare è l'ombra proiettata dalla sua teoria delle prove.

Ci sono recenti risultati entusiasmanti riguardanti la ricerca di una logica che cattura PTIME. Il famoso esempio di Cai, Fürer e Immerman che mostra che LFP + C non acquisisce PTIME era basato su una classe di grafici apparentemente artificiali. Naturalmente, è stato costruito per il particolare compito di dimostrare le restrizioni di LFP + C. Solo recentemente Dawar ha dimostrato che la classe non è affatto artificiale. Può piuttosto essere visto come un esempio del fatto che LFP + C non può risolvere i sistemi di equazioni lineari!

Quindi Dawar, Grohe, Holm e Laubner hanno esteso le logiche agli operatori dell'algebra lineare, ad esempio da un operatore per definire il rango di una matrice definibile. La logica risultante LFP + rank può esprimere rigorosamente più di LFP + C, infatti, non esiste alcuna proprietà PTIME nota che LFP + rank non possa esprimere.

Anche FO + rk è sorprendentemente potente, può esprimere una chiusura transitiva deterministica e simmetrica. È ancora aperto se può esprimere la chiusura transitiva generale di un grafico.

A seconda di cosa intendi per "acquisizione" potrebbe essere interessante la logica lineare morbida e il tempo polinomiale di Yves Lafont. Esiste una corrispondenza 1-1 con le prove in questa logica e algoritmi PTIME che accettano una stringa come input e output 0 o 1.

$C^*$

Alcuni lavori più vecchi su questo problema, sempre nella vena della logica lineare, sono Jean-Yves Girard, Andre Scedrov e Philip Scott. Logica lineare limitata: un approccio modulare alla calcolabilità del tempo polinomiale. Theoretical Computer Science, 97 (1): 1–66, 1992.

Lavori più recenti includono Bounded Linear Logic, rivisitato da Ugo Dal Lago e Martin Hofmann.