Durezza del numero cromatico frazionario approssimativo su grafici di gradi limitati

È apx-difficile approssimare il numero cromatico frazionario su grafici con gradi limitati?

Sì.

Se ho capito bene, la dimostrazione del Teorema 1.6 in Khot (2001) stabilisce che è NP-difficile distinguere tra i due seguenti casi, anche se ci concentriamo su grafici a grado limitato di grado sufficientemente alto:

1. C'è una colorazione .$k$
2. Il rapporto tra il numero di vertici e la dimensione massima di un insieme indipendente è almeno .$k^{\log(k)/25}$

Dal punto di vista del numero cromatico frazionario questi due casi sono:

1. Il numero cromatico frazionario è al massimo .$k$
2. Il numero cromatico frazionario è almeno .$k^{\log(k)/25}$

Ora dobbiamo ricordare che abbiamo bisogno di gradi sufficientemente alti (in funzione di ). Ma per quanto posso vedere, la prova ha, ad esempio, il seguente corollario conveniente che potrebbe già essere sufficiente per i tuoi scopi:$k$

• Data qualsiasi costante , ci sono costanti Δ e c tali che il seguente problema in NP-hard: dato un grafico G di massimo grado Δ , decidere se il numero cromatico frazionario di G è al massimo c o almeno α c .$\alpha$$\Delta$$c$$G$$\Delta$$G$$c$$\alpha c$

Naturalmente questo implica già che non esiste un PTAS, a meno che P = NP.