Coprendo un semplice poligono con cerchi

Supponiamo che io abbia un semplice poligono e un intero . Quali sono alcuni approcci esistenti per trovare il raggio più piccolo modo che io possa coprire con cerchi di raggio ? Che ne dici se è fisso e voglio minimizzare ? $S$ $k$ $r$ $S$ $k$ $r$ $r$ $k$

cg.comp-geom planar-graphs set-cover

— user771871
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Utilizzare l'algoritmo di clustering k-center: consultare la Sezione 4.2 in http://goo.gl/pLiEO .

Si può ottenere l'algoritmo di approssimazione 1 + eps usando le griglie scorrevoli.

È naturale supporre che il problema sia NP-Hard a causa del lavoro di Feder e Greene.

— Sariel Har-Peled
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Questo è ciò che ti dà la griglia scorrevole ...

— Sariel Har-Peled,

La ringrazio per la risposta. Ho più o meno familiarità con le griglie scorrevoli. Nello scenario dei punti si basa fondamentalmente sul fatto che in ogni cella della griglia si può risolvere il problema di copertura in modo ottimale poiché ogni disco contiene due punti sul suo confine, più il numero di dischi per coprire la cella è limitato. Così si può risolvere la sua forza bruta. Ma nell'impostazione di un poligono, non vedo come risolvere il problema in una cella della griglia in modo ottimale. Ti dispiacerebbe fornire alcuni suggerimenti su questo?

— 101011

Le griglie scorrevoli implicano che all'interno della cella della griglia le dimensioni della soluzione sono piccole. Quindi è necessario risolvere il problema all'interno di ciascuna cella della griglia (di solito esattamente) utilizzando un altro algoritmo. Ecco un modo alternativo per pensarci: campiona il poligono molto densamente, quindi risolvi il problema sul campione ... E sì, i dettagli esatti su come farlo potrebbero essere piuttosto dolorosi ... Quindi, supponi di avere un poligono con n bordi e sai che la soluzione ottimale è di dimensione k. Sai come risolvere esattamente il problema in questo caso?

— Sariel Har-Peled,

Grazie ancora. Dopo qualche altra riflessione, non so ancora come coprire il poligono in modo ottimale con k dischi, anche se conosco k. Il fatto che ci sia poca natura discreta lo rende davvero difficile per me. Per quanto riguarda il tuo approccio di campionamento: dopo il campionamento, ti piacerebbe coprire solo la parte campionata? Non stiamo quindi incontrando il problema di sprecare molti dischi per colmare le lacune?

— 101011

N \times N

$N \times N$

N = O (k / ϵ)

$N=O(k/\epsilon)$

ϵ

$\epsilon$

Potresti anche voler controllare https://pdfs.semanticscholar.org/056b/67e975ab09fcbece8daa65710cef7d664763.pdf mentre il documento descrive un metodo per coprire un triangolo equilatero l'approccio è generale ed è quello che stai cercando arbitrario

— kauii8
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