Cosa significherebbe confutare la tesi di Church-Turing?

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Ci scusiamo per il titolo accattivante. Voglio capire, cosa si dovrebbe fare per confutare la tesi di Church-Turing? Da qualche parte ho letto che è matematicamente impossibile farlo! Perché?

Turing, Rosser ecc. Usavano termini diversi per distinguere tra: "cosa può essere calcolato" e "cosa può essere calcolato da una macchina di Turing".

La definizione di Turing del 1939 al riguardo è: "Useremo l'espressione" funzione calcolabile "per indicare una funzione calcolabile da una macchina, e lasciamo che" effettivamente calcolabile "faccia riferimento all'idea intuitiva senza una particolare identificazione con nessuna di queste definizioni".

Quindi, la tesi di Church-Turing può essere affermata come segue: Ogni funzione effettivamente calcolabile è una funzione calcolabile.

Quindi di nuovo, come sarà la prova se si smentisce questa congettura?

computability proofs hypercomputation

— András Salamon
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1

Controlla l'appendice in questo fantastico (ma difficile da leggere) documento di L. Levin arxiv.org/PS_cache/cs/pdf/0203/0203029v16.pdf

— user2471

vedi anche l' applicabilità della tesi di Church-Turing ai modelli interattivi di calcolo

— vzn

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La tesi di Church-Turing è stata dimostrata per tutti gli scopi pratici.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Dershowitz e Gurevich, Bulletin of Symbolic Logic, 2008.

(Questo riferimento discute la storia dell'opera di Church e Turing e sostiene una separazione tra "Tesi della Chiesa" e "Tesi di Turing" come distinte affermazioni logiche, quindi le dimostra entrambe, all'interno di un'assiomatizzazione intuitiva della calcolabilità.)

— Aaron Sterling
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Sono un po 'preoccupato per questa risposta. Potrebbe dare l'impressione sbagliata alle persone che la tesi di Church-Turing è stata dimostrata, quando in realtà non è stata (e immagino che la maggior parte delle persone pensi che non possa essere provata).

— Emil,

5

Questo sarà il mio ultimo commento qui, ma penso che potresti voler chiedere perché un sito come questo è necessario se tutto ciò che dobbiamo fare è guardare i libri di testo. Arora e Barak sono grandi ricercatori, ma non sono logici o ricercatori di teoria della complessità (hanno comunque scritto un libro sulla complessità, anche se questa non era la loro principale area di ricerca), o esperti nella semantica del linguaggio di programmazione (che era la motivazione originale per macchine a stati astratti). La saggezza convenzionale non è necessariamente vera e, alla fine, dobbiamo pensare da soli.

— Aaron Sterling,

8

Se Dershowitz e Gurevich hanno dimostrato le tesi di Church e Turing, hanno anche dimostrato che in futuro non saremo in grado di costruire un computer che esegua infiniti passaggi computazionali a tempo finito, vedi ad esempio arxiv.org/abs/gr-qc/ 0104023 che discute tali possibilità.

— Andrej Bauer,

50

Come normalmente inteso, la tesi di Church-Turing non è una proposta formale che può essere dimostrata. È un'ipotesi scientifica, quindi può essere "smentita" nel senso che è falsificabile. Qualsiasi "prova" deve fornire una definizione di calcolabilità con essa, e la prova è valida solo come quella definizione. Sono sicuro che Dershowitz-Gurevich abbia una buona prova, ma il vero problema è se la definizione copre davvero tutto ciò che è calcolabile. Rispondendo "può essere smentito?" dicendo "è stato provato" è fuorviante. È stato dimostrato con una definizione ragionevole (falsificabile!) Di calcolabilità.

— Ryan Williams,

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L'articolo di Dershowitz-Gurevich non dice nulla sul calcolo probabilistico o quantistico. Scrive una serie di assiomi sul calcolo e dimostra la tesi di Church-Turing che assume quegli assiomi. Tuttavia, ci resta da giustificare questi assiomi. Né il calcolo probabilistico né quello quantistico sono coperti da questi assiomi (lo ammettono per il calcolo probabilistico e non menzionano affatto il calcolo quantistico), quindi è abbastanza chiaro per me che questi assiomi sono in realtà falsi nel mondo reale, anche se Church-Turing la tesi è probabilmente vera.

— Peter Shor,

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C'è un punto sottile che raramente vedo menzionato in questo tipo di discussioni e che penso meriti più attenzione.

$f$ $f$

$f$ $f$ $f$ . OK, bene, ma ora supponiamo che costruiamo l'ipercomputer e chiediamo se una macchina di Turing che cerca una contraddizione in ZFC si fermerà mai. Supponiamo inoltre che l'ipercomputer risponda "No". Cosa concludiamo Concludiamo che l'ipercomputer ha "calcolato" la coerenza di ZFC? Come possiamo escludere la possibilità che lo ZFC sia effettivamente incoerente e abbiamo appena eseguito un esperimento che ha falsificato la nostra teoria fisica?

Una caratteristica cruciale della definizione di Turing è che i suoi presupposti filosofici sono molto deboli. Presuppone, come ovviamente deve, alcune semplici caratteristiche della nostra esperienza quotidiana, come la stabilità di base del mondo fisico e la capacità di eseguire operazioni finite in modo affidabile, ripetibile e verificabile. Queste cose accettano tutti (al di fuori di un'aula di filosofia, cioè!). L'accettazione di un ipercomputer, tuttavia, sembra richiedere di accettare un'estrapolazione infinitadi una teoria fisica e tutta la nostra esperienza con la fisica ci ha insegnato a non essere dogmatici sulla validità di una teoria in un regime che è molto al di là di ciò che possiamo verificare sperimentalmente. Per questo motivo, mi sembra altamente improbabile che qualsiasi tipo di consenso travolgente svilupperà mai che ogni specifico ipercomputer sta semplicemente elaborando un calcolo anziché un ipercomputer , cioè facendo qualcosa che può essere chiamato "calcolo" solo se si accetta un controverso filosofico o ipotesi fisiche su estrapolazioni infinite.

Un altro modo per dirlo è che smentire la tesi di Church-Turing richiederebbe non solo di costruire il dispositivo descritto da Andrej, ma anche di provare con soddisfazione di tutti che il dispositivo sta funzionando come pubblicizzato. Sebbene non inconcepibile, questo è un ordine elevato. Per i computer di oggi, la natura fine del calcolo significa che se non credo al risultato del "calcolo" di un determinato computer, in linea di principio posso eseguire una sequenza finita di passaggi in un modo totalmente diverso per controllare il risultato. Questo tipo di "fallback" di buon senso e verifica finita non è disponibile se abbiamo dubbi su un ipercomputer.

— Timothy Chow
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Tim, chiaramente, la tesi di Church-Turing può essere confutata dalla dimostrazione riuscita di un modello di calcolo efficace che trascende la portata comune dei modelli equivalenti identificati da Church e Turing. Si può obiettare quanto possa essere inconcepibile, ma credo che sia ancora quello che ci vorrebbe. (Notate che evito di "provare" e "confutare" in questo contesto.)

— cmid

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2^{2^{2^{50}}}

$2^{2^{2^{50}}}$

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@Neel: Al contrario, il mio punto è precisamente che è perfettamente ragionevole dubitare della fisica elaborata alla base di un computer, o che esiste oggi o di un ipercomputer del futuro. Uno dei motivi principali per cui tolleriamo i computer di oggi è che sono incaricati di calcoli finiti che possiamo in linea di principio imitare senza una fantasia fisica. Ma costruiamo un ipercomputer la cui correttezza si basa intrinsecamente sull'estrapolazione di teorie fisiche infinitamente oltre i regimi accessibili a livello sperimentale, e non abbiamo modo di dire se il calcolo è corretto o se le nostre teorie sono andate male.

— Timothy Chow,

6

@orcmid: la fisica deve inserire l'immagine da qualche parte; altrimenti cosa ci impedisce di dichiarare che tutte le funzioni sono calcolabili? Per meritare il nome, un "calcolo" deve essere qualcosa che possiamo effettivamente immaginare di realizzare. Ecco perché le proposte di ipercomputer si impegnano a spiegare come potrebbero essere costruite fisicamente. Il mio punto è che dovremmo portare l'esperimento del pensiero un ulteriore passo avanti: di fronte a un presunto ipercomputer, come potremmo sapere che funziona davvero come pubblicizzato? Se non potessimo saperlo, sarebbe davvero legittimo fare riferimento ai suoi risultati come "calcoli"?

— Timothy Chow,

1

Questo è interessante, forse non possiamo davvero sapere che la macchina sta calcolando f, perché stiamo solo completando Turing. Forse ci vorrebbe un osservatore ipertestuale per verificare che un oggetto ipercomputato sia davvero ipercomputering oO

— guillefix

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Mentre sembra abbastanza difficile dimostrare la tesi di Church-Turing a causa della natura informale della "funzione effettivamente calcolabile", possiamo immaginare cosa significherebbe confutarla. Vale a dire, se qualcuno costruisse un dispositivo che (in modo affidabile) calcolasse una funzione che non può essere calcolata da nessuna macchina di Turing, ciò smentirebbe la tesi di Church-Turing perché stabilirebbe l'esistenza di una funzione effettivamente calcolabile che non è calcolabile da una macchina di Turing.

— Andrej Bauer
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In che senso qualcuno deve "costruire" la macchina? Viviamo in un mondo finito che può contenere solo computer strettamente più deboli delle macchine di Turing. Forse deve inventare invece una nuova caratterizzazione logica intuitivamente accattivante? Come potrebbe essere?

— Vag,

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E il nostro universo sempre più limitato delle teoriche Mashine allo stato finito a causa del limite di massa / energia da costante concreta e Bremmermann Limit pespmc1.vub.ac.be/ASC/Bremer_limit.html quindi esistono calcoli che i più grandi FSM immaginari possono fare ma computer fisici impossibile (problemi di transcomputazione).

— Vag,

2

Sarebbe ovviamente necessario che un essere umano fosse in grado di simulare la macchina, al fine di confutare la tesi originale di Turing che identifica l'effettiva calcolabilità con la calcolabilità umana.

— Carl Mummert,

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Smentire la tesi di Church-Turing sembra davvero estremamente improbabile e concettualmente molto difficile da immaginare. Esistono vari "ipotetici mondi fisici" che sono in qualche modo in tensione con la tesi di Church-Turing (ma se si contraddicono è di per sé una questione filosofica interessante). Un articolo di Pitowsky " La tesi della Chiesa fisica e la complessità computazionale fisica", Iyun 39, 81-99 (1990) tratta di tali ipotetici mondi fisici. Vedi anche l'articolo di Itamar Pitowsky e Oron Shagrir: " The Church-Turing Thesis and Hyper Computation ", Minds and Machines 13, 87-101 (2003). Oron Shagrir ha scritto diversi articoli filosofici sulla tesi di Church-Turing, vedere la sua pagina web . (Vedi anche questo post sul blog .)

La tesi di Church-Turing efficace o efficiente è un'asserzione infinitamente più forte rispetto all'affermazione originale di Church-Turing che afferma che ogni possibile calcolo può essere simulato efficacemente da una macchina di Turing. I computer quantistici mostreranno infatti che l'efficiente tesi di Church-Turing non è valida (modulo alcune congetture matematiche di complessità computazionale e modulo "interpretazione asintotica"). Penso che l'efficiente congettura di Church-Turing sia stata formulata per la prima volta nel 1985 da Wolfram, l'articolo è citato nell'articolo di Pitowsky collegato sopra. In effetti, non hai nemmeno bisogno di computer quantistici universali per confutare l'efficiente tesi di CT, ed è interessante la linea di ricerca (che Aaronson studia tra gli altri) per proporre la dimostrazione il più semplice possibile della superiorità computazionale dei sistemi quantistici.

È anche un problema interessante se esistono modi più semplici per dimostrare la superiorità computazionale dei computer quantistici in presenza di rumore, piuttosto che avere una tolleranza ai guasti quantistica a tutto campo (che consente il calcolo quantistico universale). (Scott A. è davvero interessato anche a questo problema.)

— Gil Kalai
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Pensavo che le macchine di Turing potessero simulare i computer quantistici? (Con grande perdita di efficienza ovviamente.) (Modifica: ah, noto che hai detto "Tesi CT efficace" - è questa la tesi secondo cui le TM possono simulare in modo efficiente qualsiasi dispositivo di calcolo?)

— Emil

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Penso che Gil stia parlando della tesi "estesa" di Church-Turing (che egli chiama la "efficace" tesi di Church-Turing) secondo cui tutto ciò che può essere calcolato in modo efficiente in natura è anche calcolabile su una macchina Polying di Turing.

— Ryan Williams,

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Ho aggiunto una frase per chiarirla.

— Gil Kalai,

Gil, grazie per questo bel post! Per esprimere un punto di vista dell'ingegneria dei sistemi quantistici, noi umani esistiamo in un universo rumoroso in cui (assenza di correzione dell'errore) l'ECT è empiricamente vero --- in quanto i processi dinamici quantistici possono essere simulati in modo efficiente --- tramite formalismi in cui (effettivamente) la sovrapposizione quantistica è un'approssimazione locale, più o meno nello stesso senso in cui la geometria euclidea è un'approssimazione locale alla geometria riemanniana. La natura abbraccia flussi quantistici simili, in modo da calcolarsi in modo efficiente? Questa è una domanda aperta ... e un IMHO molto interessante.

— John Sidles,

Ispirato dal post di Gil e dal post di Timothy Chow (sotto), ho promosso il commento sopra a una domanda formale TCS: "Qual è il ruolo corretto della validazione nel campionamento quantistico, nella simulazione e nei test ECT (Extended-Church-Turing)? " Grazie Gil e Timothy.

— John Sidles,

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Per quanto ho capito, l '"impossibilità" di provare o smentire la tesi è che non esiste una definizione formale di "effettivamente calcolabile". Oggi lo consideriamo esattamente "calcolabile da una macchina di Turing", ma ciò pone piuttosto la domanda.

Sono stati studiati modelli di calcolo che sono strettamente più potenti di una macchina di Turing, dai un'occhiata a http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation per alcuni esempi. O semplicemente prendere una macchina Turing con un oracolo per il problema Halting for Turing Machines. Una macchina del genere avrà il suo problema di Halting, ma può risolvere il problema di Halting originale. Certo, non abbiamo un simile oracolo, ma non c'è nulla di matematicamente impossibile nell'idea.

— Evgenij Thorstensen
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Grazie per la risposta. Quindi, inventare una funzione matematicamente realizzabile (ma non fisicamente) da un modello ma non da una macchina di Turing non confuta la tesi?

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Dershowitz e Gurevich 2008 assiomatizzano "calcolabili efficacemente" utilizzando macchine a stati astratti.

— Aaron Sterling,

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Quindi, stanno definendo un altro modello di calcolo e lo stanno dimostrando equivalenti a quelli esistenti, no? Perché quel modello computazionale è più affidabile di quelli esistenti?

— Blaisorblade,

Potremmo usare il potere umano come tale oracolo, escogitando una prova formale per (non) risoluzione. Runtime scadente, però ...

— Raphael,

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Le confusioni dell'ipercomputazione in genere assumono la validità del limite di Bekenstein, che afferma un limite particolare alla quantità di informazioni che può contenere una quantità limitata di spazio. Ci sono controversie su questo limite, ma penso che la maggior parte dei fisici lo accetti.

Se il limite di Bekenstein è gravemente violato e non vi è alcun limite alla quantità di informazioni contenute in una particolare regione (per esempio un buco nero o un'incisione infinitamente fine e robusta), e ci sono meccanismi arbitrariamente raffinabili per esaminare il contenuto di quello regione (diciamo, esaminando attentamente la radiazione emessa mentre un oggetto accuratamente costruito cade nel buco nero o facendo scorrere uno stilo sulle scanalature dell'incisione), si può supporre che già esista un artefatto che codifica un oracolo che si ferma .

Tutto molto improbabile, ma dimostra che l'affermazione secondo cui l'ipercomputazione è impossibile non è una verità matematica, ma basata sulla fisica. Vale a dire che Andrej ha ragione quando dice che possiamo immaginare cosa significherebbe confutare [la tesi di Church-Turing]. Vale a dire, se qualcuno ha costruito un dispositivo che (in modo affidabile) ha calcolato una funzione che non può essere calcolata da nessuna macchina di Turing .

— Charles Stewart
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Il limite di Bekenstein potrebbe reggere, ma l'ipercomputazione potrebbe essere ancora possibile.

— András Salamon,

@ András: In linea di principio sì: abbiamo bisogno di molta più teoria fisica per far funzionare un argomento negativo. Ma i tentativi di "descrivere" i macchinari ipertestuali che ho visto tutti li violano.

— Charles Stewart,

Quelli che coinvolgono anelli chiusi vicino ai buchi neri violano il limite?

— András Salamon,

@ András: non so quali intendi. La teoria delle stringhe è generalmente compatibile con il limite di Bekenstein.

— Charles Stewart,

Intendo cose come arxiv.org/abs/gr-qc/0209061 che invece di basarsi sulla teoria delle stringhe, "solo" presume che si possano inviare calcoli nel passato.

— András Salamon,

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Per quanto riguarda la tesi estesa di Church-Turing (intesa come "Una macchina di Turing probabilistica può simulare in modo efficiente qualsiasi funzione calcolabile fisicamente"):

Una possibilità è la differenza tra computer classici e computer quantistici. In particolare la domanda "Esiste un compito che i computer quantistici possono svolgere e che i computer classici non possono svolgere?" Un recente rapporto dell'ECCC di Scott Aaronson (vedi congettura 9 a pagina 5) evidenzia una congettura che, se dimostrata, fornirebbe prove concrete contro la tesi estesa di Church-Turing.

Se si dovesse confutare la tesi estesa di Church-Turing, potrebbe assomigliare a quello - in particolare, dimostrando un compito calcolabile in modo efficiente che una macchina (classica) di Turing non può calcolare in modo efficiente.

— Daniel Apon
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Per chiarire, il calcolo quantistico mette in discussione solo la Tesi Church-Turing efficiente / estesa / forte che afferma che tutti i modelli di calcolo realizzabili possono essere simulati su una macchina di Turing in tempo polinomiale. La normale tesi di Church-Turing non pone restrizioni all'efficienza. I computer quantistici non hanno alcuna speranza di rovesciare questa versione perché una macchina di Turing può semplicemente simulare tutti i rami esponenzialmente di un calcolo quantistico a tempo finito.

— Ian,

Sì, grazie per questo - ho corretto il mio uso sciatto dei due termini.

— Daniel Apon,

Hmmm ... ma secondo le definizioni standard, l'ECT non è già stato definitivamente smentito? Alice: "Ecco un esempio di cifre binarie veramente casuali calcolate dalla mia rete ottica quantica (a una modalità)". Bob: "Ecco un esempio di cifre pseudo-casuali calcolate da una classica macchina di Turing." Alice: "Mi dispiace Bob ... il tuo campione è algoritmicamente comprimibile e il mio no. Pertanto i miei dati dimostrano che l'ECT è falso!" Formalmente parlando, il ragionamento di Alice è impeccabile. Tuttavia, in assenza di test di convalida delle affermazioni di Alice, dovremmo essere soddisfatti?

— John Sidles,

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Un nuovo documento presentato al DCM2011 : una formalizzazione e prova della tesi estesa di Church-Turing (Nachum Dershowitz e Evgenia Falkovich)

— Giorgio Marinelli
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I seguenti articoli di Selim Akl possono essere interessanti e pertinenti alla discussione:

Akl, SG, "Tre controesempi per dissipare il mito del computer universale", Parallel Processing Letters, vol. 16, n. 3, settembre 2006, pagg. 381 - 403.

Akl, SG, "Anche le macchine in accelerazione non sono universali", International Journal of Unconventional Computing, Vol. 3, n. 2, 2007, pagg. 105-121.

Nagy, M. e Akl, SG, "Il parallelismo nell'elaborazione delle informazioni quantistiche sconfigge il computer universale", Lettere di elaborazione parallele, Numero speciale sui problemi computazionali non convenzionali, vol. 17, n. 3, settembre 2007, pagg. 233 - 262.

Ecco l'abstract del primo:

È dimostrato che il concetto di Universal Computer non può essere realizzato. In particolare, sono mostrate istanze di una funzione calcolabile F che non possono essere calcolate su nessuna macchina U che è in grado di eseguire solo un numero finito e fisso di operazioni per fase. Ciò rimane vero anche se la macchina U è dotata di una memoria infinita e della capacità di comunicare con il mondo esterno mentre sta tentando di calcolare F. Rimane vera anche se, inoltre, a U viene concesso un tempo indefinito di tempo per calcolare F. Questo risultato si applica non solo ai modelli idealizzati di calcolo, come la Turing Machine e simili, ma anche a tutti i computer di uso generale noti, compresi i computer convenzionali esistenti (sia sequenziali che paralleli), nonché a quelli non convenzionali contemplati come come computer biologici e quantistici.

— Massimo Cafaro
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Puoi fornire un link al primo documento che non è protetto da un paywall? Qual è la loro definizione di "funzione calcolabile?" Secondo la definizione standard (esiste una macchina di Turing che calcola la funzione) la loro affermazione è per definizione falsa ...

— Christopher Monsanto

Ti ho appena inviato il documento via e-mail.

— Massimo Cafaro,

Ecco uno di questi documenti: research.cs.queensu.ca/home/akl/techreports/even.pdf . Ulteriori informazioni qui: research.cs.queensu.ca/Parallel/projects.html . Non esiste una definizione effettiva di "computer" nel documento, solo una descrizione ondulata a mano. Presumibilmente quella descrizione ondulata a mano può essere formalizzata con un po 'di lavoro, usando il modello della macchina di Turing o qualcosa di simile come base.

— Sasho Nikolov,

W (t)

$W(t)$

t

$t$

c

$c$

W (t) > c t

$W(t) > ct$

— Sasho Nikolov,

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Come può essere vero? Un computer classico non può simulare in modo efficiente un computer quantistico. Esistono algoritmi quantistici che forniscono una velocità esponenziale rispetto ai computer classici che eseguono algoritmi classici: l'algoritmo di Shor è uno.

— Robert McGwier
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1) Potrebbe esserci un classico algoritmo di factoring polifunzionale. Non ne conosciamo uno, ma la sua esistenza è del tutto coerente con lo stato della teoria della complessità. 2) La tesi originale di Church-Turing riguarda la calcolabilità, non la calcolabilità efficiente .

— Sasho Nikolov,