Partizione libera da H.

Questa è una domanda ispirata al problema del taglio libera-H . Dato un grafico, una partizione del suo vertice impostato in parti è privo di se non induce una copia di per tutti , . $V$ $r$ $V_1, V_2, \ldots, V_r$ $H$ $G[V_i]$ $H$ $i$ $1 \leq i \leq r$

Vorrei considerare la seguente domanda:

Qual è la minima per cui esiste una partizione free in $r$ $H$ $r$ parti ?

Si noti che quando è un bordo singolo, ciò equivale a trovare il numero cromatico ed è già NP-completo. Mi chiedo se sia più facile mostrare la completezza NP per qualsiasi fissa per questo problema (più facile rispetto a mostrarlo per il taglio free). Ho anche pensato che potesse essere ovvio, ma non sono arrivato da nessuna parte. È del tutto possibile che mi manchi qualcosa di abbastanza semplice e, in tal caso, apprezzerei alcuni suggerimenti! $H$ $H$ $H$

graph-theory np-hardness co.combinatorics

— Neeldhara
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Intendi: per tutti

e per tutti

, il sottografo di

indotto da

non è isomorfo a

i

$i$

U \subseteq V_{i}

$U \subseteq V_i$

G

$G$

U

$U$

H

$H$

— Jukka Suomela,

Penso che la risposta di RJK all'altro problema collegato da questo si applichi a questo problema (in effetti migliore rispetto all'altro problema).

— Tsuyoshi Ito,

@Jukka: Sì, proprio così. Grazie per il puntatore, e perdonami per essere troppo pigro (almeno per ora) per aggiornare la domanda di conseguenza!

— Neeldhara,

@Tsuyoshi: Sì, e ora ho una versione più elaborata della risposta anche qui! Tuttavia, dovrei dire che ho pubblicato questo perché mi sono trovato nella situazione "I-hit-a-roadblock-while-thinking-about-X and Y-sembra-a-related-and-easy-start". Ho solo pensato di condividere i dettagli di Y per gli altri che stavano pensando a X, e non era principalmente inteso come una richiesta di riferimento :)

— Neeldhara,

Serge Gaspers si riferiva a un vecchio documento (1980) di Lewis e Yannakakis che qui sembra molto rilevante!

— RJK,

Risposte:

I primi riferimenti che conosco a questo tipo di problema sono i seguenti. Questi sono anche citati nel documento Cowen, Goddard e Jesurum che ho citato nell'altro thread.

Andrews e Jacobson. (1985) Su una generalizzazione del numero cromatico. Nel Proc. 16ª Conferenza internazionale sudorientale su combinatoria, teoria dei grafi e informatica (Boca Raton 1985), Congr. Numer. 47 33–48.

Cowen, Cowen e Woodall. (1986) Colorazioni difettose dei grafici nelle superfici: partizioni in sottografi di valenza limitata. J. Graph Theory 10 187–195.

Harary. (1985) Colorabilità condizionale nei grafici. In Graphs and Applications (Boulder 1982), Wiley – Interscience, pagg. 127-136.

Harary e Jones (nata Fraughnaugh). (1985) Colorabilità condizionale II: variazioni bipartite. Nel Proc. Conferenza di Sundance su Combinatoria e argomenti correlati (Sundance 1985), Congr. Numer. 50 205–218.

AFAIK, non esiste ancora un documento che fornisca la dicotomia esplicita P / NP-c per varie scelte di H. Questo è stato fatto, tuttavia, da Hell e Nesetril, per un altro tipo di generalizzazione del numero cromatico, "H-coloranti ", agli omomorfismi.

— RJK
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Grazie mille per la risposta molto dettagliata, molto apprezzata. Questa è un'aggiunta sostanziale alla mia lista di lettura, dovrebbe tenermi occupato per un po '!

— Neeldhara,

Bene, non è un problema, anche se, come ho detto prima, oltre al documento JGT, è piuttosto difficile rintracciarli. (In effetti, devo ammettere che non ci sono ancora riuscito, nonostante abbia avuto accesso a molte biblioteche universitarie canadesi.) In ogni caso, il documento Cowen, Goddard e Jesurum è probabilmente il più pertinente e risponde alla tua domanda di Moron per H essendo una stella fissa, anche limitata ai grafici planari. Probabilmente le classi più aperte (penso?) Di H in cui affondare i denti sarebbero cicli o cricche.

— RJK,

$F_1$ $F_2$ sono due famiglie di grafici collegati, quindi il problema di partizionare un grafico in due parti di cui una è $F_1$ -free e l'altro $F_2$ -free è NP-difficile, tranne quando entrambi $F_1$ e $F_2$ consistono del bordo singolo.

(F-free = {per tutte le H in F, H-free})

Vedi www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1r46.pdf

— Aravind
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