Minori proibiti per i grafici di genere limitati

È noto che e sono vietati ai minori per i grafici planari. Ci sono centinaia di minori proibiti per i grafici incorporabili in un toro. Il numero di minori proibiti per i grafici incorporabili sulla superficie del genere g è una funzione esponenziale di g . La mia domanda è la seguente: $K_5$ $K_{3,3}$

C'è un grafo esplicito on t vertici (che non è un grafico completo) tale che è minore vietate per grafici incorporabile sulla superficie di genere g , dove t è una funzione g ? $G_t$ $G_t$

EDIT: mi sono reso conto che il seguente teorema è noto:

Per ogni superficie Σ esiste un numero intero r tale che non viene incorporato in Σ. $K_{3,r}$

Quindi, sto cercando che non è grafico completo, non un grafo bipartito completo. $G_t$

— Shiva Kintali
fonte

Quindi, vuoi una famiglia infinita di grafici ben strutturati, parametrizzati (diversi dai grafici completi) che sono vietati ai minori per le superfici di ogni genere?

— Derrick Stolee,

@Derrick. Sì. Precisamente.

— Shiva Kintali,

Quindi riformulerei la domanda usando questi termini: "Esiste una famiglia di grafici (semplice da costruire)

modo che

sia un minimo minimo proibito per i grafici incorporabili su una superficie del genere

{H_{g} : g \geq 1}

$\{ H_g : g \geq 1\}$

H_{g} ≇ K_{n}

$H_g \not\cong K_n$

g

$g$

— Derrick Stolee,

Il vincolo "

non sono minori di

" non può essere quello che vuoi. Se non sono minori di

, allora

è planare e non può essere un minore proibito per nessun genere superiore.

K_{5}

$K_5$

K_{3, 3}

$K_{3,3}$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— David Eppstein,

@DavidEppstein Ho rimosso le mie modifiche. In sostanza, sto cercando ostacoli "diversi" da

K_{5}

$K_5$

K_{33}

$K_{33}$

— Shiva Kintali,

L'unione disgiunta di copie di (o ) è un minimo proibito per i grafici del genere ; lo stesso vale per un grafico in cui alcune di queste copie condividono un singolo vertice, quindi i blocchi del grafico sono o . Ciò deriva dai risultati di J. Battle, F. Harary, Y. Kodama e JWT Youngs, "Additività del genere di un grafico", $n$ $K_5$ $K_{3,3}$ $n-1$ $K_5$ $K_{3,3}$ Bull. Amer. Matematica. Soc. 68 (1962) 565-568, ed è già abbastanza per dimostrare che ci sono almeno esponenzialmente molti minori proibiti.

Bojan Mohar, "Un ostacolo all'incorporazione di grafici nelle superfici", Discrete Math. 78 (1989) 135–142, elenca il grafico formato da rimuovendo un ciclo di 4 come genere 2. Poiché è toroidale, ciò significa che o uno dei suoi sottografi di spanning è un ostacolo al torus embedding, e quei grafici che hanno copie di questo grafico come i loro blocchi hanno il genere . $K_8$ $K_7$ $K_8\setminus C_4$ $n$ $2n$

Mohar mostra anche che il grafico formato da un ciclo collegando il vertice 0 a tutti i vertici pari e il vertice 1 a tutti i vertici dispari ha "genere relativo" almeno . Il grafico è planare, ma penso che il genere relativo significhi che il ciclo deve essere un volto; oppure potresti aggiungere un altro vertice al grafico, collegato a tutti i vertici del ciclo, per forzarlo efficacemente ad essere una faccia. Forse questo è più vicino al tipo di cosa che vuoi. Ma non credo che dimostri che questi grafici sono minorenni proibiti. $(2k+2)$ $\lceil k/2\rceil$

— David Eppstein
fonte

(2 k + 2)

$(2k+2)$ il ciclo è quello che sto cercando. Grazie. Accetto la tua risposta.

— Shiva Kintali,