Può esistere una tale matrice?

Durante il mio lavoro ho riscontrato il seguente problema:

Sto cercando di trovare una matrice , per qualsiasi , con le seguenti proprietà: $n \times n$ $(0,1)$ $M$ $n > 3$

Il determinante di è pari. $M$
Per tutti i sottoinsiemi non vuoti con, La sottomatrice ha determinante strano se e solo se . $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ $|I| = |J|$ $M^I_J$ $I=J$

Qui denota la sottomatrice di creato rimuovendo le righe con indici e le colonne con indici . $M^I_J$ $M$ $I$ $J$

Finora, ho provato a trovare una tale matrice tramite campionamento casuale, ma sono in grado di trovare solo una matrice che ha tutte le proprietà tranne la prima , cioè la matrice ha sempre un determinante strano. Ho provato varie dimensioni e diversi set di input / output senza successo. Quindi questo mi fa pensare:

Esiste una dipendenza tra i requisiti che impedisce loro di essere contemporaneamente veri?

È possibile che esista una matrice del genere e qualcuno può darmi un esempio?

Grazie Etsch

— Adige
fonte

intendi sottoinsiemi casuali o qualche sottoinsieme?

— Suresh Venkat,

Sembra che e conflitto tra loro , perché non c'è nulla che impedisca a in un sottoinsieme casuale di essere in un altro sottoinsieme casuale. O vuoi solo che questo sia vero per una singola coppia di sottoinsiemi , ?

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— Peter Shor,

Sì, i due sottoinsiemi e sono fissi. Ad esempio per possibile impostare , , e , , e quindi la domanda è: esiste una matrice (7x7) tale che , , e così via, in base alle 20 proprietà definite.

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch,

Non potresti semplicemente risolvere , , , , , per semplificare la domanda e semplificarne la lettura?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela,

A cura di chiarezza.

— Jeffε

Non esiste tale matrice.

L' identità Desnanot-Jacobi dice che per , so using questo, otteniamo Ma i tuoi requisiti impongono che il lato sinistro sia 0 (mod 2) e il lato destro sia 1 (mod 2), dimostrando che sono incompatibili. $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— Peter Shor
fonte

Bello! Tuttavia, ora sono confuso perché il richiedente ha detto che solo il secondo punto nella domanda può essere soddisfatto, il che contraddice effettivamente l'identità che hai citato.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: in che modo il secondo proiettile contraddice l'identità? La matrice identità soddisfa il secondo proiettile, ed è facile controllare che soddisfa l'identità Desnanot-Jacobi. (A meno che tu non stia prendendo , che viola una condizione nell'identità che ho appena aggiunto alla mia risposta.)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— Peter Shor,

Scusa, il mio commento precedente era falso e sembra che io sia più confuso di quanto pensassi. Perché il requisito nella domanda impone che il lato sinistro della seconda equazione nella tua risposta sia 0 mod 2?

— Tsuyoshi Ito,

Ora capisco cosa intendevi. Non è stato necessario rimuovere la prima riga e la prima colonna.

— Tsuyoshi Ito,

@Etsch: stavo pensando a quando ho scritto . Penso che sia corretto ora.

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— Peter Shor,