Circuiti aritmetici monotoni

Lo stato delle nostre conoscenze sui circuiti aritmetici generali sembra essere simile allo stato delle nostre conoscenze sui circuiti booleani, cioè non abbiamo buoni limiti inferiori. D'altra parte, abbiamo limiti inferiori di dimensione esponenziale per circuiti booleani monotoni .

Cosa sappiamo dei circuiti aritmetici monotoni ? Abbiamo buoni limiti inferiori simili per loro? In caso contrario, qual è la differenza essenziale che non ci consente di ottenere limiti inferiori simili per i circuiti aritmetici monotoni?

La domanda si ispira ai commenti su questa domanda .

I limiti inferiori per i circuiti aritmetici monotoni diventano più facili perché vietano le cancellazioni. D'altra parte, siamo in grado di dimostrare limiti inferiori esponenziali per i circuiti di elaborazione funzioni booleane, anche se qualsiasi monotona a valori reali funzioni sono ammessi come porte (si veda ad esempio Setta 9.6 in. Libro ).$g:R\times R\to R$

$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$. Le porte corrispondono quindi ai sottoproblemi utilizzati dall'algoritmo. Ciò che Jerrum e Snir (nel documento di V Vinay) effettivamente dimostrano è che qualsiasi algoritmo DP per il Min Weight Perfect Matching (così come per il problema TSP) deve produrre esponenzialmente molti sottoproblemi. Ma il problema Perfect Mathching non è di "DP flawor" (non soddisfa il principio di ottimalità di Bellman ). La programmazione lineare (non DP) è molto più adatta a questo problema.

E che dire dei problemi di ottimizzazione che possono essere risolti da algoritmi DP ragionevolmente piccoli - possiamo dimostrare limiti inferiori anche per loro? Molto interessante in questo senso è un vecchio risultato di Kerr (Teorema 6.1 nel suo dottorato di ricerca ). Implica che l'algoritmo classico Floyd-Warshall DP per il problema All-Pairs Shortest Paths (APSP) sia ottimale : sono necessari sottoproblemi . Ancora più interessante è che l'argomento di Kerr è molto semplice (molto più semplice di quello usato da Jerrum e Snir): usa solo l'assioma distributivo e la possibilità di "uccidere" le porte minime impostando uno dei suoi argomenti su modo dimostra che$\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$le porte plus sono necessarie per moltiplicare due matrici sul semiring . In sett. 5.9 del libro di Aho, Hopcroft e Ullman è dimostrato che questo problema è equivalente al problema APSP.$n\times n$$(+,\min)$

Una domanda successiva potrebbe essere: che dire del problema SSSP (Singleest Source Shortest Paths)? L'algoritmo Bellman-Ford DP per questo problema (apparentemente "più semplice") utilizza anche porte . È ottimale? Finora non è nota alcuna separazione tra queste due versioni del problema del percorso più breve; vedere un interessante documento di Virginia e Ryan Williams in questo senso. Quindi, un limite inferiore in circuiti per SSSP sarebbe un grande risultato. La prossima domanda potrebbe essere: che dire dei limiti inferiori per lo zaino? In questo progetto i limiti inferiori per lo zaino sono dimostrati nel modello più debole di circuiti cui l'uso di$O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-gates è limitato; nell'appendice viene riprodotta la prova di Kerr.

Sì. Conosciamo buoni limiti inferiori e li conosciamo da un po 'di tempo ormai.

Jerrum e Snir hanno dimostrato un limite esponenziale inferiore ai circuiti aritmetici monotoni per il permanente entro il 1980. Valiant ha mostrato che anche un solo portone negativo è esponenzialmente più potente .

Per ulteriori informazioni sui circuiti aritmetici (monotoni), controlla l' indagine di Shpilka sui circuiti aritmetici.

Un altro risultato che sono a conoscenza è da Arvind, Joglekar e Srinivasan - essi presenti polinomi espliciti computabile lineari dimensioni larghezza- circuiti aritmetici monotone ma qualsiasi larghezza- monotono circuito aritmetico prenderebbero dimensione esponenziale.$2k$$k$

Conta questo: i limiti inferiori del semi-gruppo di Chazelle per problemi di ricerca di portata fondamentali (nell'impostazione offline). Tutti i limiti inferiori sono quasi ottimali (fino ai termini di registro quando il limite inferiore è polinomiale e i termini del registro di registro quando il limite inferiore è pollogaritmico).