I sistemi di risoluzione delle equazioni modulo

Sono interessato alla complessità della risoluzione di equazioni lineari modulo k , per k arbitrario (e con un interesse speciale per le potenze primi), in particolare:

Problema. Per un dato sistema di equazioni lineari in incognite modulo , esistono soluzioni?n $m$$n$$k$

In astratto al loro articolo Struttura e importanza delle classi MOD di spazio di spazio sulle classi Mod _k L , Buntrock, Damm, Hertrampf e Meinel affermano che " dimostrano il loro significato dimostrando che tutti i problemi standard dell'algebra lineare sugli anelli finiti sono completi per queste classi$\mathbb Z/k\mathbb Z$ ". Ad un esame più attento, la storia è più complicata. Ad esempio, Buntrock et al. mostra (con uno schizzo di prova in una bozza precedente e liberamente accessibile trovata da Kaveh, grazie!) che la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari è invece nella classe complementare coMod _k L , per kPrime. Questa classe non è nota per essere uguale a Mod _k L per k composito, ma non importa che - ciò di cui sono preoccupato è il fatto che non fanno alcuna osservazione sul fatto che i sistemi di risoluzione di equazioni lineari mod k siano contenuti in coMod _k L per k composito!

Domanda: i sistemi di risoluzione di equazioni lineari modulo k sono contenuti in coMod _k L per tutti i k positivi?

Se riesci a risolvere i sistemi di equazioni modulo una potenza maggiore q di un primo p , puoi risolverli anche modulo p ; quindi risolvere i sistemi di equazioni modulo q è coMod _p L -hard. Se potessi mostrare che questo problema è in Mod _q L , finiresti per mostrare Mod _k L  =  coMod _k L per tutto k . È probabile che sia difficile da dimostrare. Ma è in coMod _k L ?

Sono felice di dire che penso che possiamo rispondere affermativamente a questa domanda: cioè, decidere se una congruenza lineare è fattibile modulo k è coMod _k L- complete .

Possiamo effettivamente ridurre questo problema al caso speciale dei poteri principali. Si può dimostrare che:

Forma normale. La classe coMod _k L è composta da linguaggi L della forma L  =  L _{p 1}  ∩  L _{p 2}  ∩ ... ∩  L _{p r}  , dove L _{p j}  ∈  coMod _{p j}  L e dove p _j varia tra i fattori primi di k .

Secondo il Teorema del resto, qualsiasi soluzione a un sistema di equazioni modulo ciascuno dei poteri primi dividendo k dà origine a una soluzione per lo stesso sistema, mod k . Quindi, se i sistemi di equazioni lineari risolvere più di è contenuta in COMOD _{p j}  L , ne consegue che i sistemi di risoluzione di equazioni mod k è contenuto in COMOD _k L . p t j$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$

C'è un algoritmo standard, descritto da McKenzie e Cook per ridurre le congruenze lineari modulo una potenza primaria per costruire un set di spanning per il suo spazio nullo (vale a dire, per A x  =  y su un determinato anello, costruire una base per lo spazio nullo di [  A  |  y  ] e vedere se esistono soluzioni con un coefficiente finale di −1); e successivamente per ridurre la costruzione di poteri nulli modulo spazi primari alla costruzione di spazi nulli modulo primi, e moltiplicazione matrice moduli potere primi. Entrambi questi compiti sono problemi che sono fattibili per coMod _k L , a condizione che tu possa costruire le matrici coinvolte.

Si scopre che le matrici coinvolte nella riduzione di McKenzie e Cook possono esse stesse essere calcolate mediante moltiplicazione di matrici e divisione (fondamentale) di un fattore costante. Fortunatamente, per le potenze prime, i coefficienti delle matrici coinvolte possono essere calcolati sul nastro di lavoro usando un oracolo per le macchine coMod _p L ; e la divisione per una costante può essere eseguita in NC ¹ , che è ancora fattibile in COMOD _p L . Così si scopre che l'intero problema è in definitiva fattibile in COMOD _k L .

Per i dettagli completi, consultare [ arxiv: 1202.3949 ].