Quante tautologie ci sono?

Dati , quanti k -DNF con n variabili e clausole m sono tautologia? (o quanti k -CNF sono insoddisfacenti?)$m, n, k$$k$$n$$m$$k$

La risposta dipende da , m e n . I conteggi esatti non sono generalmente noti, ma esiste un fenomeno "soglia" che per la maggior parte delle impostazioni di k , m , n , o quasi tutte le istanze di k -SAT sono soddisfacenti, o quasi tutte le istanze non sono soddisfacenti. Ad esempio, quando k = 3 , è stato empiricamente osservato che quando m < 4,27 n , tutti tranne uno o ( 1 ) Frazione di 3-SAT casi sono satisfiable, e quando m > 4,27 n , tutti tranne uno $k$$m$$n$$k$$m$$n$$k$$k=3$$m < 4.27 n$$o(1)$$m > 4.27n$ frazione insoddisfacente. (Esistono anche prove rigorose dei limiti.)$o(1)$

Un punto di partenza è "L'ordine asintotico della soglia k-SAT" .

Amin Coja-Oghlan ha anche lavorato molto su questi problemi di soglia soddisfacenti.

Questo è un commento esteso per integrare la risposta di Ryan, che tratta delle soglie in cui il numero di clausole diventa abbastanza grande da rendere l'istanza quasi sicuramente insoddisfacente. Si possono anche calcolare le soglie molto più grandi in cui il numero di clausole forza l' insoddisfazione quando supera una funzione di .$n$

Si noti che alcuni problemi tecnici devono essere risolti. Se vengono conteggiate clausole ripetute in , allora m può essere ingrandito a piacere senza modificare n . Ciò distruggerebbe la maggior parte delle relazioni tra m e n . Quindi supponiamo che m sia il numero di clausole distinte. Dobbiamo decidere un altro dettaglio, se le istanze sono codificate in modo tale che l'ordine dei letterali all'interno di una clausola o l'ordine delle clausole all'interno di un'istanza contino. Supponiamo che questo non sia importante, quindi due casi sono considerati equivalenti se contengono le stesse clausole e due clausole sono equivalenti se contengono gli stessi letterali. Con queste ipotesi possiamo ora limitare il numero di clausole distinte che possono essere espresse con$m$$m$$n$$m$$n$$m$ variabili. Ogni clausola può avere ciascuna variabile che si presenta positivamente o negativamente, o per niente, e quindi m ≤ 3 n .$n$$m\le 3^n$

Innanzitutto considera SAT senza restrizioni su . Qual è la più grande m tale che l'istanza sia soddisfacente? Senza perdita di generalità possiamo supporre che l'assegnazione tutto zero sia una soluzione. Vi sono quindi 3 n - 2 n clausole diverse coerenti con questa soluzione, ognuna contenente almeno un letterale negato. Quindi m ≤ 3 n - 2 n per ogni caso soddisfacente. L'istanza composta da tutte le clausole che contengono ciascuna almeno un letterale negato ha molte clausole ed è soddisfatta dall'assegnazione tutto zero. Inoltre, secondo il principio del buco del piccione ogni istanza con almeno 3 $k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ clausole non sono soddisfacenti.$3^n-2^n+1$

Ciò produce sottoinsiemi diversi di tali clausole, ognuno dei quali rappresenta un'istanza distinta che è soddisfatta da un incarico. In confronto, il numero totale di diverse istanze è 2 3 n .$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

Ora modificando quanto sopra per i casi in cui ogni clausola ha al massimo letterali, ci sono ∑ k i = 0 ($k$distinto tali clausole e∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$ clausole in cui non ci sono letterali negativi, quindim≤∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$per casi soddisfacenti e qualsiasimpiù grandenon è soddisfacente. Vi sono quindi2∑ k i = 0 ($m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$istanze soddisfatte da un determinato incarico, sul totale di2∑ k i = 0 ($2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$k-SAT istanze.$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$