Teorema automatizzato che dimostra in logica lineare

18

Il teorema automatico dimostra e ricerca di prove è più facile nelle logiche strutturali secondarie e proposizionali che mancano di contrazione?

Dove posso leggere di più sulla dimostrazione del teorema automatico in queste logiche e sul ruolo della contrazione nella ricerca di prove?

— Anonimo
fonte

17

Altre risorse potrebbero essere trovate citate nella tesi di Kaustuv Chaudhuri " Il metodo inverso focalizzato per la logica lineare ", e potreste essere interessati ai " Calcoli sequenziali senza contrazione " di Roy Dyckhoff , che tratta della contrazione ma non della logica lineare.

Esistono opportunità per una ricerca di prove efficiente nella logica lineare, ma non credo che il lavoro attuale indichi che è più semplice della ricerca di prove nella logica non sottostrutturale. Il problema è che se vuoi provare nella logica lineare, hai una domanda in più che non hai nella normale ricerca di prove: è usato per dimostrare o è usato per dimostrare ? In pratica, questo "non determinismo delle risorse" è un grosso problema nell'esecuzione della ricerca di prove nella logica lineare. $C \vdash(A \otimes B)$ $C$ $A$ $C$ $B$

Secondo i commenti, " Problemi di decisione per la logica lineare proposizionale " del 1990 di Lincoln et al. È un buon riferimento se si vuole ottenere informazioni tecniche su parole come "più facile".

— Rob Simmons
fonte

3

La ricerca di prove in LL non è più difficile di IL? ISTR, la logica proposizionale classica è NP-completa, la logica proposizionale intuizionistica è PSPACE completa e la logica lineare intuitiva (con

) è indecidibile.

! A

$!A$

— Neel Krishnaswami,

4

@Neel: gli esponenziali sono un dispositivo per intrufolarsi nella contrazione. Inoltre, i connettivi additivi si comportano internamente come se avessero una contrazione, quindi non li vuoi neanche tu. Ciò che ti rimane è MLL, che in effetti è NP-completo (a differenza della logica classica, che non è NP-completa come hai detto, ma coNP-completa). In particolare, ogni tautologia MLL ha una prova di dimensione polinomiale. Tuttavia, questa prova non è facile da trovare in modo deterministico, come spiega Rob (il che è una buona cosa, poiché vogliamo che NP non si trovi in un periodo non

— esponenziale

1

Entrambi notate che stavo parlando in modo molto informale del perché la logica lineare non è "più semplice" - in un senso formale la ricerca a prova di MALL è più difficile e la ricerca a prova di logica lineare completa è ancora più difficile. La maggior parte, se non tutti, dei risultati a cui ti riferirai provengono da Lincoln e altri nel documento del 1990 "Problemi di decisione per la logica lineare proposizionale".

— Rob Simmons,

1

c u t

$\it cut$

A

$A$

1

@Rob Simmons: un incarico soddisfacente per la sua negazione.

— Kaveh,

11

No, è sempre più difficile.

Proprio come il problema decisionale per la logica proposizionale intuizionista è più difficile della logica proposizionale classica, così anche la logica proposizionale lineare è ancora più dura. Con esponenziali (che non mancano di contrazione) o vari gusti di connettivo non comunicativo, la logica diventa indecidibile e persino il debole classico MALL è PSPACE completo. Al contrario, il problema decisionale per la logica proposizionale classica è co-NP completo e per la logica proposizionale intuizionista, PSPACE completo. (Davvero, non conosco la complessità del MALL intuizionista.)

Raccomando l'esposizione di Pat Lincoln nella sezione 6 della sua logica lineare , SIGACT News 1992. Da allora abbiamo imparato un po 'di più, cioè abbiamo risultati per una grande famiglia di logiche lineari, ma il quadro di base è lì.

In un certo senso, questo è ciò che rende interessante la ricerca di prove per la logica lineare, poiché la durezza del problema decisionale fa spazio a nozioni più interessanti di calcolo e la logica lineare è difficile in molti modi diversi. Andrej indicò An Overview of Linear Logic Programming di Dale Miller ; questo è un buon posto in cui guardare da quando Miller ha fatto di più per sviluppare l'idea della ricerca di prove come un calcolo come chiunque altro.

— Charles Stewart
fonte

@Kaveh: malinteso piuttosto che errore di battitura; fisso. Dovrei menzionare MLL.

— Charles Stewart,

11

Supponendo che la complessità del problema della dimostrabilità possa soddisfarti, il panorama delle complessità delle logiche sottostrutturali con e senza contrazione è alquanto complesso. Proverò a esaminare qui ciò che è noto per la logica lineare proposizionale e la logica proposizionale. La risposta breve è che a volte la contrazione aiuta (ad esempio LLC è decidibile, mentre LL non lo è), e talvolta no (ad esempio MALL è completo per PSPACE, MALLC è completo per ACKERMANN).

Logiche proposizionali

CL: logica classica
IL: logica intuizionista
LL: logica lineare, frammenti MLL (moltiplicativo), MELL (esponenziale moltiplicativo), MALL (additivo moltiplicativo)
LLW: logica affine, cioè LL con indebolimento, stessi frammenti di cui sopra
LLC: logica lineare contrattiva, cioè LL con contrazione, stessi frammenti di cui sopra
$_\to$ $_{\to,\wedge}$

Complessità della disponibilità

NP-completo: MLL [Kan91]
co-NP-completo: CL
Completo di PSPACE: IL [Sta79], MALL [Lin92]
$_\to$
TORRE-completo: MELLW, LLW [Laz14]
$_{\to,\wedge}$
$\Sigma_1^0$

$_\to$

Riferimenti

[Kan91] Max Kanovich, Il frammento moltiplicativo della logica lineare è NP-completo , Rapporto di ricerca X-91-13, Institute for Language, Logic, and Information, 1991.
[Laz14] Ranko Lazić e Sylvain Schmitz, Complessità non elementari per Branching VASS, MELL ed Extensions , manoscritto, 2014. arXiv: 1401.6785 [cs.LO]
[Lin92] Patrick Lincoln, John Mitchell, Andre Scedrov e Natarajan Shankar, Problemi di decisione per la logica lineare proposizionale , Annali di logica pura e applicata 56 (1–3): 239–311, 1992. 10.1016 / 0168-0072 (92) 90075-B
[Sch14] Sylvain Schmitz, Implicational Relevance Logic è 2-ExpTime-complete , manoscritto, 2014. arXiv: 1402.0705 [cs.LO]
[Sta79] Richard Statman, La logica proposizionale intuitiva è completa di spazio polinomiale , Informatica teorica 9 (1): 67–72, 1979. doi: 10.1016 / 0304-3975 (79) 90006-9
[Urq84] Alasdair Urquhart, The Undecidability of Entailment and Relevant Implication , Journal of Symbolic Logic 49 (4): 1059–1073, 1984. doi: 10.2307 / 2274261
[Urq99] Alasdair Urquhart, La complessità delle procedure decisionali nella logica di pertinenza II , Journal of Symbolic Logic 64 (4): 1774–1802, 1999. 10.2307 / 2586811

— Sylvain
fonte

9

Forse la panoramica di Dale Miller sulla programmazione della logica lineare è un buon punto di partenza?

— Andrej Bauer
fonte