Termini Lambda-Calculus che si riducono a se stessi

Nella mia continua ricerca per cercare di imparare il calcolo lambda, "Lambda-Calculus and Combinators an Introduction" di Hindley & Seldin menziona il seguente documento (di Bruce Lercher) che dimostra che l'unica espressione riducibile che è la stessa (conversione alfa modulo) a se stessa è: .$(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$

Mentre credo al risultato, non seguo affatto l'argomento.

È piuttosto breve (meno di un paragrafo). Qualsiasi spiegazione sarebbe benvenuta.

Grazie,

Charlie

Innanzitutto, si noti che il risultato indica che l'unico beta redex in cui il lato destro è uguale (modulo conversione alfa) al lato sinistro è . Ci sono altri termini che si riducono a se stessi, avendo questo redex in un contesto.$(\lambda x. x x) (\lambda x. x x)$

Vedo come funziona la maggior parte delle prove di Lercher, anche se ci sono punti in cui non posso superare senza modificare leggermente le prove. Supponiamo che (uso = per alpha equivalenza), e secondo la convenzione variabile supponga che x non si verifica trasporto B .$(\lambda x. A) B = [B/x] A$$=$$x$$B$

Contare il numero di sul lato sinistro e sul lato destro. La riduzione rimuove uno dalla Redex, oltre a quelli di B , e aggiunge come molti come ci sono in B volte il numero di occorrenze di x in A . In altre parole, se L ( M ) è il numero di λ in M e # x ( M ) è il numero di occorrenze libere di x in M, allora 1 + L ( B ) = # x$\lambda$$B$$B$$x$$A$$L(M)$$\lambda$$M$$\#_x(M)$$x$$M$ . L'unica soluzione a tale equazione diofantea è # x ( A ) = 2 (e L ( B ) = 1 ma non useremo questo fatto).$1 + L(B) = \#_x(A) \times L(B)$$\#_x(A) = 2$$L(B)=1$

Non capisco l'argomento di Lercher per il paragrafo sopra. Conta il numero di e termini atomici; scriviamo questo # ( M ) . L'equazione è # ( B ) + 1 = # x ( A ) × ( # ( B ) - 1 ) , che ha due soluzioni: # x ( A ) = 2 , # ( B ) = 3 e # x ( $\lambda$$\#(M)$$\#(B) + 1 = \#_x(A) \times (\#(B) - 1)$$\#_x(A)=2, \#(B)=3$$\#_x(A)=3, \#(B)=2$. I don't see an obvious way to eliminate the second possibility.

Let us now apply the same reasoning to the number of subterms equal to $B$ on both sides. The reduction removes one near the top, and adds as many as there are substituted occurrences of $x$ in $A$, i.e. 2. Hence one more occurrence of $B$ must disappear; since the ones in $A$ remain (because $B$ contains no free $x$), the extra occurrence of $B$ on the left-hand side must be $\lambda x. A$.

I don't understand how Lercher deduces that $A$ does not have $B$ as a subterm, but this is not in fact relevant for the proof.

Dall'ipotesi iniziale, è un'applicazione. Questo non può essere il caso se A = x , quindi A stessa è un'applicazione M N , con λ x . M N = [ ( λ x . M N ) / x ] M = [ ( λ x . M N ) / x ] $[(\lambda x. A)/x] A$$A = x$$A$$M N$$\lambda x.M N = [(\lambda x. M N)/x] M = [(\lambda x. M N)/x] N$. Since $M$ can't have itself as a subterm, $M$ cannot have the form $\lambda x.P$, so $M = x$. Similarly, $N = x$.

I prefer a proof with no counting arguments. Suppose that $(\lambda x. A) B = [B/x] A$.

$A = x$$(\lambda x. A) B = B$$B$$A$$A_1 A_2$$\lambda x. A = [B/x] A_1$ and $B = [B/x] A_2$.

From the former equality, either $A_1 = x$ or $A_1 = \lambda x. [B/x] A$. In the second case, $A_1 = \lambda x. (\lambda x. A_1 A_2) B$, which is not possible since $A_1 cannot be a subterm of itself.

From the latter equality, either $A_2 = x$ or $A_2$ has no free $x$ (otherwise $B$ would be a subterm of itself). In the latter case, $A_2 = B$.

We have shown that $A = x x$. The right-hand side of the initial hypothesis is thus $B B$, and $B = \lambda x. A$ = $\lambda x. x x$.