Il modo migliore per determinare la dimensione minima di una struttura dati solo le distanze tra i punti

Mi sono imbattuto in questo problema in un'area della fisica abbastanza lontana dall'informatica, ma sembra il tipo di domanda che è stata studiata in CS, quindi ho pensato di provare la mia fortuna a chiederlo qui.

Immagina di avere una serie di punti e un elenco di alcune delle distanze tra i punti . Qual è il modo più efficiente per determinare la dimensionalità minima dello spazio in cui è necessario incorporare questi punti? In altre parole, qual è il più piccolo in modo tale che esista un insieme di punti in soddisfi i vincoli di distanza . Sarei altrettanto contento di una risposta per , ma questo sembra più difficile.$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

Sono felice di dire che le distanze devono corrispondere a solo entro una certa precisione costante e di avere i punti limitati ai punti su un reticolo di spaziatura costante, al fine di evitare problemi di calcolo con i reali.$d_{ij}$$\epsilon$

In effetti, sarei abbastanza contento di una soluzione per la versione decisionale di questo problema, in cui dato e ti viene chiesto se esiste un tale insieme di vertici . Fondamentalmente il problema è in NP, dato che dato un insieme di punti in è facile verificare che soddisfino i requisiti di distanza, ma sembra che ci dovrebbero essere algoritmi temporali sub-esponenziali per questo particolare problema.$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

L'approccio più ovvio sembra essere quello di provare a costruire strutture -dimensionali in modo iterativo, aggiungendo ulteriori punti uno alla volta e determinando se è necessario aggiungere o meno una nuova dimensione spaziale ad ogni iterazione. Il problema è che sembra che tu possa imbatterti in ambiguità in cui esiste più di un modo per aggiungere un punto alla struttura esistente, e non è chiaro quale porterà a meno dimensioni mentre continui ad aggiungere più punti.$k$

Infine, lasciatemi dire che so che è facile creare elenchi di distanze che non possono essere soddisfatte in nessun numero di dimensioni (cioè quelle che violano la disuguaglianza del triangolo). Tuttavia, per i casi a cui tengo, ci sarà sempre un numero finito minimo di dimensioni in cui è possibile trovare una serie soddisfacente di punti.

Questo problema è talvolta chiamato il completamento della matrice di distanza euclidea a bassa dimensione o l'incorporamento euclideo a bassa dimensione di un grafico ponderato.

Saxe [Sax79] e Yemini [Yem79] hanno mostrato indipendentemente da una semplice riduzione del problema della partizione che questo problema è NP-completo anche nel caso di una dimensione; cioè, il seguente problema è NP-completo per k = 1:

k completamento della matrice della distanza euclidea tridimensionale / incorporamento euclideo della k- direzionale di un grafico ponderato
Istanza : una matrice simmetrica M le cui voci sono numeri interi positivi in ​​binario o "sconosciuto".
Domanda : Possono le voci sconosciute in M essere riempiti con i numeri reali in modo che M diventa una matrice delle distanze di punti nel k dimensionale spazio euclideo ℝ ^k ?
Equivalentemente,
Istanza : un grafico G in cui ogni fronte ha un peso intero positivo scritto in binario.
Domanda : I vertici di G possono essere posizionati ink- spazio euclideo tridimensionale ℝ ^{k in} modo che per ciascun bordo di G , la distanza tra i due punti finali sia uguale al peso del bordo?

Inoltre, Saxe [Sax79] ha dimostrato (con una riduzione più implicata di 3SAT) che il completamento della matrice di distanza euclidea k- dimensionale rimane NP-difficile anche con la restrizione che tutte le voci conosciute in M sono 1 o 2, per ogni costante intera positiva k . In particolare, il problema è NP-completo anche quando le voci note in M sono fornite in modo unario. [Sax79] contiene anche alcuni risultati di durezza sull'incorporamento approssimativo.

A proposito, non penso che sia banale che il problema sia in NP; notare che in alcuni casi sono necessarie coordinate irrazionali quando k > 1. Non so se è noto per essere in NP.

Riferimenti

[Sax79] James B. Saxe. L'incorporabilità dei grafici ponderati nello spazio k è fortemente NP-difficile. In Atti della 17a Conferenza di Allerton su comunicazioni, controllo e informatica , pagg. 480–489, 1979. Anche in James B. Saxe: Due lavori sui problemi di incorporamento dei grafici , Dipartimento di Informatica, Carnegie-Mellon University, 1980.

[Yem79] Yechiam Yemini. Alcuni aspetti teorici dei problemi di posizione-posizione. Nel 20 ° Simposio annuale sulle basi dell'informatica (FOCS) , pagg. 1-8, ottobre 1979. DOI: 10.1109 / SFCS.1979.39

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