Qual è la classe di complessità per le subroutine quantistiche che assumono in stati quantistici arbitrari come input?

La classe di complessità BQP corrisponde alle subroutine quantistiche temporali polinomiali che assorbono input classici e generano un output classico probabilistico. La consulenza quantistica modifica quella di includere copie di alcuni stati di consulenza quantistica predeterminati ma con input classici come al solito. Qual è la classe di complessità per le subroutine quantistiche temporali polinomiali che prendono in stati quantistici arbitrari come input, con una copia solo a causa della mancanza di clonazione e sputando stati quantici come output?

Penso che ciò che vuoi sapere siano analoghi quantistici di classi di problemi funzionali. (Grazie a Peter Shor per aver sottolineato questa descrizione sintetica in un commento.)

Un processo astratto che prende come input uno stato quantico di dimensione fissa e produce uno stato quantico di dimensione fissa quando l'uscita viene chiamata canale quantico . Nella tua situazione, non vogliamo fissare la dimensione di input o la dimensione di output, e quindi consideriamo naturalmente una famiglia di canali quantistici come analogo quantico di funzioni dalle stringhe classiche alle stringhe classiche.

È chiaramente possibile definire la classe di famiglie di canali quantistici che possono essere implementate / approssimate da famiglie di efficienti circuiti quantistici (con opportune nozioni di efficienza, uniformità e approssimazione). Non so se questa classe abbia un nome standard (ma vedi il commento di Peter Shor per un suggerimento).

Nella mia speculazione, le classi di canali quantistici non sono spesso studiate perché uno dei motivi per considerare le classi di complessità è al fine di confrontare i poteri di diversi modelli computazionali e le classi di canali quantistici non possono essere utilizzate per confrontare modelli computazionali classici e quantistici. Tuttavia, è perfettamente corretto definire e parlare di tali classi se si può dimostrare qualcosa di interessante su di esse.

Qualcosa che potrebbe interessarti è la nozione di oracolo quantistico introdotta da Aaronson e Kuperberg in arXiv: quant-ph / 0604056 . Citando dal loro documento:

Proprio come un oracolo classico modella una subroutine alla quale un algoritmo ha accesso a scatola nera, così un oracolo quantistico modella una subroutine quantistica, che può prendere input quantico e produrre output quantico.

Questo non risponde direttamente alla tua domanda sulla definizione di una classe di complessità che rappresenta il modello che descrivi. Tuttavia, la nozione di oracolo quantistico ha rilevanza nella teoria della complessità: nel loro articolo Aaronson e Kuperberg usano un oracolo quantistico per separare QMA e QCMA .

Penso che una classe di complessità per problemi decisionali , prendendo in considerazione gli stati quantistici come input, abbia probabilmente una definizione fragile. Per problemi di promessa, la definizione sarà sensibile alle scelte numeriche o risolverà essenzialmente i problemi di decisione / promessa classici codificati in alcune basi degli stati quantici decodificabili in modo efficiente.

$\Phi_n: \mathrm L(\mathcal H_2^{\otimes n}) \to \mathrm L(\mathcal H_2)$-qubit stati a singoli stati qubit. Certo, un circuito quantico è un canale perfettamente buono; se parliamo di eseguire canali specifici che sono limitati dal punto di vista computazionale, potremmo anche parlare di famiglie di circuiti quantici uniformi (o, del resto, qualsiasi modo uniforme di implementare una mappa CPTP). Per una buona misura, il circuito dovrebbe terminare con una misurazione base standard, se vogliamo mantenere la semantica di decidere qualcosa con probabilità limitata.

$\mathcal L$$\rho'$$\rho \in \mathcal L$$\rho$$\rho'$$\mathcal L$

$\mathcal L$$\mathcal L$(1), questa è una probabilità che è più vicina alla certezza all'aumentare della dimensione dell'input - e allo stesso modo, la probabilità di rigetto di qualsiasi stato che la routine decisionale è in grado di respingere dovrebbe convergere anche a zero.

I problemi di promessa quantistica che un circuito QBQP (per input di dimensione n ) sarebbe in grado di distinguere sarebbero quindi

• $\mathcal H_2^{\otimes n}$
• Per NO casi, miscele di stati puri che sono ortogonali a quello sottospazio (o almeno, tutti gli stati orto-complementari consentiti dalla promessa).

In cima a queste classi di stati può esserci un miasma di stati vicini che sono consentiti dalla promessa e sono molto vicini agli stati appartenenti a una delle due classi sopra; ma asintoticamente, le classi di stati soddisfatte dalla promessa converrebbero a queste due classi man mano che n cresce. Il circuito coinvolto nella procedura di decisione corrisponderebbe quindi essenzialmente a un circuito che mappa alcune basi di stati puri in$\mathcal L$$\mathcal L^\bot$ problema di decisione o promessa, codificato in stati quantistici, con errore che converge a zero.

Correggimi se sbaglio, ma mi sembra che tu sia interessato alla classe BQP / qpoly . Definizione dallo zoo di complessità: "La classe di problemi risolvibili da una macchina BQP che riceve uno stato quantico advicen come consiglio, che dipende solo dalla lunghezza dell'input n."

Se è quello, nel sito web puoi trovare relazioni di questa classe con altre classi di complessità. In caso contrario, questo sito Web contiene anche informazioni su ciò che accade a BQP quando si utilizzano diversi tipi di consulenza.

C'è anche un lavoro relativamente recente sul " caratterizzazione della consulenza quantistica " in cui è possibile trovare la seguente gerarchia:

Non so quante di queste informazioni siano già presenti nello zoo di complessità. Se sei interessato al documento, gli autori hanno anche dato un discorso al riguardo.

Modifica Mi chiedo se per "arbitrario" intendi uno stato generato da un processo quantistico più generale che "evoluzione unitaria che agisce su basi computazionali" come evoluzione dissipativa. In quest'ultimo caso specifico non hai più potenza computazionale di BQP, come mostrato in questo articolo .

Ecco alcuni riferimenti su linguaggi quantistici, ovvero problemi di decisione con input quantistici. Probabilmente ce ne sono molti altri.

1. NP quantico e gerarchia quantistica -Tomoyuki Yamakami
2. Sulla complessità delle lingue quantistiche -Elham Kashefi, Carolina Moura Alves
3. Un test efficiente per gli stati dei prodotti, con applicazioni ai giochi quantistici Merlin-Arthur -Aram Harrow, Ashley Montanaro, DOI: 10.1109 / FOCS.2010.66, Abstract: arxiv.org/abs/1001.0017v3