Assiomi per percorsi più brevi

Supponiamo di avere un grafico ponderato non orientato (con pesi non negativi). Supponiamo che tutti i percorsi più brevi in siano unici. Supponiamo di avere questi (sequenze di bordi non ponderati), ma non conosciamo stesso. Possiamo produrre una che avrebbe dato a questi percorsi il più breve nel tempo polinomiale? La versione più debole: possiamo decidere in tempo polinomiale se tale esiste? $G = (V, E, w)$ $G$ $\binom{n}{2}$ $G$ $G$ $G$

L'ovvia condizione necessaria è la seguente: per ogni coppia di percorsi anche la loro intersezione è un percorso. Questa condizione è sufficiente?

— ilyaraz
fonte

Devo essere confuso riguardo all'input: se nell'unione dei percorsi più brevi hai due vertici su un ciclo, allora ci sono due percorsi tra loro (che sono necessariamente i più corti) e uno deve essere più corto dell'altro dal tuo condizione di unicità

u, v

$u,v$

— Suresh Venkat,

@Suresh: non so a cosa vuoi arrivare. Se il grafico G è il grafico completo, il percorso più breve univoco tra due vertici è un bordo singolo e l'unione di tutti questi percorsi più corti è il grafico completo.

— Tsuyoshi Ito,

Penso che la risposta sia "no" per ricostruire un grafico ponderato, dal momento che se un bordo manca dal tuo input, potrebbe effettivamente (a) mancare nel grafico o (b) essere un bordo con un peso davvero molto alto. Penso che la versione senza pesi sia più interessante. Inoltre, perché il grafico che vogliamo trovare è ponderato e i percorsi che ci vengono dati non sono ponderati?

— Artem Kaznatcheev

lascia che sia l'unione dei percorsi più brevi. c'è un motivo per cui non è un grafico che produrrebbe questi stessi percorsi più brevi? o, in altre parole, non è il caso che se i percorsi più brevi indicati non sono percorsi più brevi in , allora non esiste un grafico per cui sono i percorsi più brevi?

H

$H$

H

$H$

H

$H$

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov Quali pesi dovremmo assegnare ai bordi?

— ilyaraz,

Risposte:

Mi sono appena imbattuto in questa vecchia domanda mentre conducevo una ricerca illuminata, e mi è capitato di avere recentemente ricevuto risposte in questo documento che potrei anche condividere. Spero che la combinazione di negromanzia del filo e autopromozione sia perdonabile.

Possiamo produrre una G che avrebbe dato a questi percorsi il più breve nel tempo polinomiale? La versione più debole: possiamo decidere in tempo polinomiale se tale G esiste?

La risposta è sì ad entrambi. L'algoritmo di Mohammad funziona sicuramente, ma esiste un metodo più rapido e diretto che evita la necessità di eseguire oracoli di separazione cubici. Sia un grafico ponderato ausiliario non indiretto, in cui il peso di ciascun bordo è un numero intero che indica quanti dei percorsi presi sull'input contengono quel bordo. Ora, consideriamo l'istanza del flusso di multipacità capacitiva del margine su (interpretando i pesi del bordo come capacità) in cui l'obiettivo è spingere simultaneamente 1 unità di flusso tra ciascuna coppia di nodi. Ovviamente, questa istanza di flusso MC può essere soddisfatta spingendo il flusso in modo naturale lungo i percorsi indicati sull'input. A quanto pare, si può dimostrare che il nostro $H = (V, E, w')$ $e \in E$ $n \choose 2$ $H$ $n \choose 2$ i percorsi sono percorsi più brevi unici in alcuni se e solo se questo è il modo unico di soddisfare l'istanza del flusso MC. Possiamo testare l'unicità impostando un LP i cui vincoli sono i soliti per la fattibilità del flusso MC più una certa funzione obiettivo accuratamente scelta, e i pesi di bordo di una soddisfacente possono essere estratti dal doppio di questo LP. $G$ $G$

L'ovvia condizione necessaria è la seguente: per ogni coppia di percorsi anche la loro intersezione è un percorso. Questa condizione è sufficiente?

Questa condizione viene talvolta definita "coerenza" (un insieme di percorsi è coerente se l'intersezione di due qualsiasi è un sottotraccia di ciascuno). Da quanto precede risulta che la coerenza non è sufficiente. Uno dei due controesempi legati per i più piccoli è il seguente sistema con codice colore di quattro percorsi su sei nodi:

In altre parole, non è possibile assegnare pesi agli 8 spigoli illustrati qui, in modo che tutti e quattro questi percorsi siano contemporaneamente il percorso più breve univoco tra i loro punti finali. Tuttavia, qualsiasi coppia di essi si interseca su un solo nodo, quindi sono coerenti (anche se li compiliamo con alcuni percorsi aggiuntivi nel modo giusto per avere in totale). Ci sono infiniti controesempi come questo; vedere l'articolo per una caratterizzazione. $n \choose 2$

Altri tre rapidi commenti su tutto questo:

Le affermazioni analoghe che potresti sperare per tutti valgono bene nell'impostazione di grafici diretti anziché non indirizzati,
C'è una bella interpretazione topologica di questa teoria che porta ad ulteriori intuizioni e intuizioni su come possono essere strutturati percorsi più brevi e unici, e
Per alcuni motivi tecnici, la teoria semplifica convenientemente l'impostazione dei DAG piuttosto che i grafici non indirizzati o (ciclici) diretti.

— GMB
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Puoi scrivere il problema come un LP, vero? Per due vertici u, v e qualsiasi percorso P da u a v, il peso di P è maggiore o uguale al peso del percorso più breve dato tra u e v. Queste sono tutte disuguaglianze lineari, e anche se ci sono esponenzialmente molti, il problema di separazione è in P (è solo un problema di percorso più corto di tutte le coppie). Quindi, puoi usare l'algoritmo Ellipsoid per risolverlo.

— Mohammad
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