Complessità comunicativa con un arbitro

Assumi un quadro nella complessità della comunicazione in cui abbiamo due giocatori A (pidocchi) e B (ob) e una R (eferee). A e B non comunicano direttamente tra loro. In ogni round di comunicazione, ciascuno di essi invia un messaggio ( , ) a R. R calcola due funzioni e e invia loro i risultati. Le funzioni sono fisse. L'idea è che la comunicazione tra i giocatori sia limitata. Inoltre, l'arbitro potrebbe elaborare alcuni messaggi. $m_A$ $m_B$ $f_A(m_A,m_B)$ $f_B(m_A,m_B)$

Esempio:

A e B inviano due numeri (arbitrariamente grandi) a R, R controlla quale di essi è maggiore e informa i giocatori.

In questo quadro, possiamo progettare un protocollo semplice che calcola facilmente la seguente funzione usando un solo round. A e B di invio ed di R, R restituisce la risposta ad esse, e la risposta di uscita. $x$ $y$

f (x, y) = {\begin{cases} 0 & x \leq y \\ 1 & o w \end{cases}

$f(x,y)= \begin{cases}0 & x\leq y\\ 1 & ow \end{cases}$

Ovviamente questo non è un caso interessante, poiché la funzione che stiamo calcolando è la stessa delle funzioni dell'arbitro. Un caso più interessante è quando abbiamo una disuguaglianza lineare fissa e i valori delle variabili sono suddivisi tra i giocatori (A ha e B ha ). Il compito è decidere se la disuguaglianza è corretta. Il protocollo in questo caso è che i giocatori calcolano la loro parte e poi li inviano all'arbitro. $\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ $\vec{x}$ $\vec{y}$

Domanda:

È stato studiato questo tipo di complessità comunicativa? Se sì, dove posso trovare ulteriori informazioni al riguardo?

nota 1: a pagina 49 Kushilevitz e Nisan menzionano un quadro che coinvolge un arbitro ma sembra molto diverso da quello che sto chiedendo.

nota 2: non sono sicuro se chiamare R un arbitro sia la cosa giusta, si prega di commentare se si ha un suggerimento migliore.

cc.complexity-theory reference-request communication-complexity

— Kaveh
fonte

il modello che stai citando si chiama "Passaggio simultaneo di messaggi"

— Marcos Villagra

controlla questo documento ( arxiv.org/abs/quant-ph/0102001 ) e i suoi riferimenti. In particolare, controlla i documenti di Ambainis, Newman e Szegedy.

— Marcos Villagra,

ecco un articolo più recente di Raoul Jahin ieeexplore.ieee.org/xpl/…

— Marcos Villagra

@MarcosVillagra: SMP è lo stesso della nota 1 di Kaveh, vero?

— Alessandro Cosentino,

@Marcos, grazie, li controllerò, ma in base agli abstract mi sembra che SMP sia diverso da quello che sto descrivendo. (Cercherò di fornire un esempio migliore per chiarire che i giocatori stanno usando R per comunicare che può richiedere diversi round.) Ps: Penso che sarebbe meglio se pubblichi questi commenti come risposta.

— Kaveh,

Risposte:

Sono sicuro che conosci il seguente documento, ma ho inserito un link perché altri lettori potrebbero essere interessati: Interpolazione di Games

Questo documento è un tentativo di utilizzare il framework di complessità della comunicazione per mostrare limiti inferiori per il taglio di piani. Il protocollo viene utilizzato per produrre un circuito interpolante per CNF insoddisfacente:

A (x, y) \lor B (x, z) .

$A(x,y)\lor B(x,z).$

Il giocatore riceve l'input e , il giocatore ottiene e . Se c'è una prova superficiale simile a un albero nei piani di taglio, i due giocatori hanno un protocollo di comunicazione tale $A$ $a$ $y^a$ $B$ $b$ $z^b$

qualsiasi comunicazione è mediata dall'arbitro, che aiuta a valutare le disuguaglianze nella prova;
la quantità di comunicazione è piccola (l'albero è poco profondo);
i due giocatori decidono quale di o è falsificato; $A$ $B$
trovano una posizione in cui . $i$ $a_i \not= b_i$

L'arbitro si trasforma in un protocollo probabilistico per le disuguaglianze. In questo modo è possibile trasformare il limite inferiore per i protocolli probabilistici ad albero nel quadro della complessità della comunicazione in limite inferiore per le prove dei piani di taglio ad albero.

Se avessimo un limite inferiore per il protocollo di comunicazione della forma di un PLS, avremmo un limite inferiore per le prove degli aerei da taglio simili a dag.

Si noti che questa tecnica non dipende dalle regole di inferenza effettive dei piani di taglio. Se assumiamo che le regole di inferenza siano (1) combinazione positiva (2) divisione intera con floor, possiamo costruire il circuito interpolante monotono usando l' argomento Pavel Pudlák .

— MassimoLauria
fonte

In realtà stavo cercando di capire se qualcosa di più generale di questo è stato studiato nella complessità della comunicazione, quindi non ho menzionato la complessità della prova inferiore e l'interpolazione fattibile non per distorcere le risposte, ma grazie. :)

— Kaveh,

Sì, l'ho pensato. Ma altri lettori di questo forum potrebbero essere interessati e interessarsi alla complessità della prova.

— MassimoLauria,

Solo alcune osservazioni. Innanzitutto, non riesco proprio a capire perché abbiamo bisogno di un arbitro. Se la sua funzione è nota per i giocatori, perché allora non possono semplicemente simulare l'arbitro? Alice invia a Bob, lui (senza vedere ) calcola , dopodiché calcola e dice il risultato ad Alice. Forse si assume che è non noto a Bob, e ad Alice? $m_A$ $m_A$ $m_B$ $f(m_A,m_B)$ $f_A$ $f_B$

In secondo luogo, i protocolli relativi alle disuguaglianze lineari sono davvero interessanti nel contesto del taglio delle prove del piano. In questo caso, è anche sufficiente considerare i protocolli, in cui la forma dei messaggi è molto limitata : possono essere comunicati solo i valori di alcune combinazioni lineari di variabili di input.

$0$ $1$ $0$ $1$

$f(\alpha,\beta)=1$ $\alpha \leq \beta$ $m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$ $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$

$t$ $\exp(t/\log n)$

$G=(V,E)$ $u$ $x_u$ $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$ $x_u+x_v\leq 1$ $uv$ $G$ $0$ $1$ $G$

$=(L\cup R,E)$ $A\subseteq L$ $B\subseteq R$ $|A\cup B|>\alpha(G)$ $A$ $B$ $\alpha(G)$ $L$ $R$ $n\times n$ $\omega(\log^2 n)$

@Kaveh: Ci scusiamo per "aver risposto" alla tua domanda con domande.

— Stasys
fonte

Sono più interessato al framework cc generale che alle sue applicazioni note nella complessità della prova. Le funzioni utilizzate dall'arbitro sono note (sono state corrette come ho detto). Ci sono una serie di problemi per cui sono interessato a questo modello, ma il punto principale è su come misurare la quantità di comunicazione. Se siamo interessati al numero totale di bit comunicati, è possibile simulare il protocollo come hai detto. Ma se vogliamo considerare alcune altre misure di complessità come il numero di round, penso che sia diverso. Ad esempio, in un caso che è stato utilizzato in

— Kaveh

prova complessità ogni giocatore invia un numero reale all'arbitro. Un numero reale può codificare infinitamente molti bit, quindi se vuoi simularlo dobbiamo inviare un numero infinito di bit e, se lo stiamo permettendo, possiamo semplicemente inviare l'intero input, quindi diventa poco interessante. Ma contando il numero di round nel framework con un arbitro otteniamo una misura diversa che può essere utile (come nella prova di Pavel Pudlak).

— Kaveh,

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

questi sono problemi secondari, come ho detto, voglio saperne di più sul tipo di complessità della comunicazione che ho descritto nella domanda e che ho intenzionalmente evitato di collegarlo a complessità di prova e interpolazioni. Non c'è nulla di correlato alla complessità della prova nella dichiarazione della mia domanda.

— Kaveh,

k > 2

$k>2$