Diagramma di Voronoi in un grafico

Lascia che sia un grafico con bordi (positivamente) ponderati. Voglio definire il diagramma di Voronoi per un insieme di nodi / siti , per associare a un nodo il sottografo di indotto da tutti i nodi strettamente più vicini a rispetto a qualsiasi altro nodo in , misurando la lunghezza di un percorso dalla somma dei pesi sugli archi. è la regione Voronoi di . Ad esempio, i nodi verdi di seguito sono in $G$ $S$ $v \in S$ $R(v)$ $G$ $v$ $S$ $R(v)$ $v$ $R(v_1)$ e i nodi gialli sono in . Mi piacerebbe capire la struttura del diagramma Voronoi. Come inizio, che aspetto ha il diagramma di due siti e , ovvero che aspetto ha la bisettrice a 2 siti (blu nell'esempio sopra)? Credo della bisettrice come complemento di in . Ecco due domande specifiche: $R(v_2)$
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$v_1$ $v_2$ $B(v_1,v_2)$ $R(v_1) \cup R(v_2)$ $G$

Q1. La bisettrice di due siti è in qualche modo collegata?

Q2. È convesso nel senso che contiene il percorso più breve tra due nodi in ? $R(v)$ $R(v)$

Sicuramente questo è stato studiato prima. Qualcuno può fornire riferimenti / puntatori? Grazie!

Addendum per il commento di Suresh:
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— Joseph O'Rourke
fonte

Perché Q1 abbia senso hai bisogno di un certo senso dei volti, giusto? Altrimenti, la bisettrice "reale" si trova nel mezzo dei bordi e l'introduzione di vertici appena prima e dopo questo punto garantisce che la bisettrice sia scollegata. Forse se supponi che il grafico sia accordo, puoi provare qualcosa. Quanto al Q2: questo è falso anche per la geodetica in un poligono con buchi (o terreni). La mia ipotesi sarebbe che devi assumere qualcosa di abbastanza forte sul grafico per ottenere una risposta non banale a entrambe le domande.

— Sariel Har-Peled,

Grazie, Sariel, per quelle osservazioni. Sì, sembra che sperassi troppo, e forse solo in speciali classi di grafici ci saranno belle proprietà strutturali.

— Joseph O'Rourke,

ah, quindi nella sfera normale una cellula voronoi non può diventare più grande di un emisfero, quindi non hai questo problema. Ma il mio commento più in generale è stato lo stesso di quello di Sariel in quanto stai chiedendo la convessità delle cellule voronoi in una varietà riemanniana potenzialmente generica e questo non dovrebbe essere vero.

— Suresh Venkat,

S

$S$

S

$S$

K_{2, n}

$K_{2, n}$

Quindi ora sto pensando che forse c'è una domanda interessante qui. Che cosa succede se la metrica sottostante è una varietà (come suggerito da Suresh). Ora colleghiamo due punti se e solo se esiste un terzo punto q, tali altri due punti sono i due vicini più vicini (pensate a questo come a una sorta di complesso di testimoni). Una congettura naturale sarebbe che se il collettore raddoppia, si possono sempre aggiungere punti O (1) in modo tale che la bisettrice sia collegata. Hmmm ...

— Sariel Har-Peled l'

Mehlhorn, K .: Un algoritmo di approssimazione più veloce per il problema di Steiner nei grafici. Lettere per l'elaborazione dell'informazione 27, 125-128 (1988)

Erwig, M .: Il diagramma Voronoi grafico con applicazioni. Reti 36 (3), 156–163 (2000)

entrambi i riferimenti sono stati copiati da

Matthew T. Dickerson, Michael T. Goodrich, Thomas D. Dickerson, Ying Daisy Zhuo: diagrammi Voronoi di andata e ritorno e doppia densità nelle reti geografiche. Transactions on Computational Science 14: 211-238 (2011)

— David Eppstein
fonte

Questo richiederà un po 'di scavo, ma superficialmente, non sembra che molte proprietà strutturali del diagramma siano state identificate in questi documenti (forse perché ci sono poche proprietà degne di nota!).

— Joseph O'Rourke,

anzi, non sembra molto sapere; abbiamo un altro lemma o due in sommer.jp/voronoi.htm

— Christian Sommer