Limiti ai momenti di frequenza approssimativa

Sia una sequenza di numeri interi in cui ciascuno a j ∈ { 1 , 2 , … , n } . Poiché i ∈ { 1 , 2 , … , n } , sia m i = | { j : a j = i } | . Il k esimo momento di frequenza è definito come$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

Nel loro famoso documento, La complessità spaziale dell'approssimazione dei momenti di frequenza , Alon et al. dare un algoritmo di streaming che approssima usando approssimativamente O ( n 1 - $F_k$spazio. Usano anche tecniche di complessità della comunicazione per ottenere un limite inferiore diΩ(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$perk>5. Perk=0,1,2, forniscono limiti superiore e inferiore corrispondenti più o meno.$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

Da allora ci sono stati miglioramenti a questi limiti e ci sono stati progressi per ?$k = 3,4,5$

$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

Per k <= 2

$O(1/\epsilon^2+log(n))$

$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2, penso che lo schizzo AMS dalla loro carta sia ottimale

Qualcosa di simile.

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$