I buoni PCP per NP ci danno buoni PCP per l'intera gerarchia polinomiale?

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Il teorema del PCP afferma che ogni problema decisionale in NP ha prove verificabili probabilisticamente (o equivalentemente, che esiste un sistema completo e quasi-a prova di suono per i teoremi in NP che utilizza una complessità di query costante e logaritmicamente molti bit casuali).

La "saggezza popolare" che circonda il teorema del PCP (ignorando per un attimo l'importanza del PCP per la teoria dell'approssimazione) è che ciò significa che le prove scritte in un linguaggio matematico rigoroso possono essere controllate in modo efficiente con qualsiasi grado di accuratezza desiderato senza l'obbligo di leggere l'intero prova (o gran parte della prova).

Non riesco proprio a vederlo. Considera l'estensione del secondo ordine alla logica proposizionale con l'uso illimitato di quantificatori (che mi è stato detto è già più debole di ZFC, ma non sono un logico). Possiamo già iniziare ad esprimere teoremi che non sono accessibili a NP alternando quantificatori.

La mia domanda è se esiste un modo semplice e noto di "srotolare" i quantificatori nelle dichiarazioni proposizionali di ordine superiore in modo che i PCP per i teoremi in NP si applichino ugualmente bene a qualsiasi livello di PH. È possibile che ciò non possa essere fatto - che srotolare un quantificatore costa, nel peggiore dei casi, una parte costante della solidità o correttezza del nostro sistema di prove.

lo.logic pcp polynomial-hierarchy

— Ross Snider
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Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

Sembra ragionevole, ma sono confuso. Se questo fosse giusto, non metterebbe NP in BPP?

— Ross Snider,

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Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

questo non funzionerà. il PH è resistente ai lemmi coinvolti. considera qualcosa come EXP ^ 2. Può gestire RP, RNP, ecc. Come uno scherzo. Non stai viaggiando facilmente su quella gerarchia.

— Steve Uurtamo,

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La verità di un'affermazione è diversa dall'avere una (breve) prova in un sistema di prove. La lingua è espressiva ma non significa che tutte le dichiarazioni valide nella lingua abbiano brevi prove nel sistema.

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

$n^{100}$ $n$ ".

— Kaveh
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Vorrei provare a chiarire.

Considera il seguente problema computazionale: data un'istruzione matematica (nel tuo sistema assiomatico preferito) e un numero n dato in rappresentazione unaria, decidi se l'istruzione ha una prova della dimensione n.

Questo è un problema NP: data una prova, si può verificare efficacemente che sia di dimensione n e che sia una prova valida del teorema. Nota: anche se la dichiarazione coinvolge quantificatori come FOR ALL, ciò non significa che il verificatore debba verificare tutte le possibilità, significa solo che il verificatore utilizza regole di inferenza che coinvolgono il quantificatore FOR ALL.

Il teorema del PCP si applica quindi a questo problema e quindi esiste un (diverso) formato di prova che consente la verifica probabilistica.

Un'altra nota (riguardante l'osservazione di Peter): Il verificatore PCP usa solo casualità logaritmica. Ciò significa che potrebbe essere sostituito da un verificatore standard, deterministico, che esamina l'intera dimostrazione. Quello che sta avendo un verificatore PCP per una lingua lo mette in NP.

— Dana Moshkovitz
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