Le triangolazioni Delaunay sulla sfera massimizzano l'angolo minimo?

Le triangolazioni di Delaunay nel piano massimizzano l'angolo minimo in un triangolo. Lo stesso vale per la triangolazione di Delaunay di punti sulla sfera? (qui l '"angolo" è l'angolo locale in un quartiere attorno al vertice all'apice).

Ispirato da ma non correlato a questa domanda su Math.SE.

cg.comp-geom delaunay-triangulation

— Suresh Venkat
fonte

Certamente la proprietà sarebbe valida per un set localizzato in una piccola regione piatta della sfera, dal momento che è una varietà. La vera domanda sarebbe se la proprietà viene sacrificata quando i punti si diffondono attraverso la sfera. La mia ipotesi sarebbe che per avere una triangolazione di Delaunay in primo luogo, avresti bisogno di triangoli grassi anche più che nel caso euclideo, quindi la proprietà sarebbe valida.

— Josephine Moeller,

Ciò non deriva quindi dal fatto che la proiezione stereografica da un punto generico sulla sfera mappa i cerchi in circoli e preserva gli angoli tra curve che si intersecano (~ bordi) a causa della conformità? Oppure mi sfugge qualcosa?

— qualcuno il

@someone Sì, dovrebbe farlo. Almeno la maggior parte. Potrebbe esserci un intoppo o due, ma questa sarebbe l'idea centrale. Me lo stavo chiedendo. Non mi ero reso conto che la mappatura stereografica fosse conforme.

— Josephine Moeller,

@SureshVenkat Ora che menzioni lo spazio iperbolico, forse ho la mia intuizione all'indietro. Nello spazio iperbolico devi tenere conto del fatto che ci sono circoli circolari "illegali" (cioè ipercicli e gli orocicli). Mentre nello spazio sferico non lo fai; puoi sempre trovare cerchi che attraversano tre punti.

— Josephine Moeller,

Non penso che funzioni. Vuoi assicurarti che la proiezione porti grandi cerchi sulle linee (poiché stai misurando gli angoli tra i bordi dei triangoli, che sono grandi cerchi / retti). Non penso che non puoi farlo con una proiezione stereografica. Puoi farlo solo con una proiezione dal punto al centro della sfera, che porta alcuni cerchi alle ellissi.

— Peter Shor,

PRIMO ARGOMENTO: Questa è stata la mia prima risposta. Nota che questo argomento è sbagliato. Vedi il mio secondo argomento di seguito.

Non penso sia vero. La ragione per cui funziona sul piano è che in un cerchio, l'angolo inscritto sotteso da un accordo è la metà dell'angolo centrale corrispondente. Quindi, se abbiamo un triangolo con un piccolo angolo, tutti i punti che renderebbero un angolo più grande con il bordo opposto sono all'interno del cerchio vuoto di Delaunay, e quindi non siamo uno dei punti nella configurazione di cui stiamo trovando una triangolazione.

Supponiamo ora di avere una triangolazione Delaunay sulla sfera. Posiziona un punto al centro della sfera e proietta tutti i pionti su un piano. I bordi dei triangoli (grandi cerchi sulla sfera) sono tutti portati a segmenti di linea. Ma i cerchi che danno la proprietà della palla vuota vengono portati alle ellissi, e quindi se c'è un punto fuori dall'ellisse proiettata ma all'interno del cerchio del triangolo, questo punto farebbe un angolo più grande con il bordo.

MODIFICARE:

Apetta un minuto. Questa risposta è completamente sbagliata, perché la proiezione centrale non conserva gli angoli. Penso ancora che la congettura sia sbagliata, perché ho un'argomentazione molto più complicata secondo cui il teorema sugli angoli inscritti non regge sulla sfera. Ecco l'argomento:

SECONDO ARGOMENTO:

La ragione per cui ciò vale nel piano è che l'angolo inscritto sotteso da un accordo è la metà dell'angolo centrale corrispondente. Ciò vale perché, nel diagramma seguente, abbiamo eSottraendo, otteniamo

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y)

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y) .

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} X_{1} C X_{2} .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

foto geometria

Ora, nella geometria sferica, otteniamo e dove indica l'area del triangolo XYZ. Sottraendo, otteniamo

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y + A (X_{2} C Y))

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y + A (X_{1} C Y)),

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$

A (X Y Z)

$A(XYZ)$

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} (X_{1} C X_{2} + A (X_{2} C Y) - A (X_{1} C Y)) .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

Affinché il locus dei punti un angolo costante per essere un cerchio, abbiamo quindi bisogno che la differenza delle aree dipenda solo dalla lunghezza onda . Tuttavia, questo è incompatibile con l'osservazione che è per diametralmente opposto e per , ma cresce fino a una dimensione massima nel mezzo. $Y$ $X_1YX_2$ $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ $X_1X_2$ $A(XCY)$ $0$ $X$ $Y$ $X=Y$

Pertanto, il locus dei punti con angolo costante non è un cerchio. Ciò significa che per alcuni triangoli possiamo trovare un punto al fuori del di quindi l'angolo . Possiamo quindi usarlo per costruire un controesempio alla congettura che le triangolazioni di Delaunay sulla sfera massimizzino l'angolo minimo. $Y$ $X_1YX_2$ $X_1YX_2$ $Y'$ $X_1YX_2$ $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$

— Peter Shor
fonte

Non mi aspettavo che questa domanda fosse così complicata :). aspettando con impazienza le foto.

— Suresh Venkat,