Corpo convesso con norma l2 minima prevista

Considera un corpo convesso $K$ centrato sull'origine e simmetrico (cioè se $x\in K$ allora $-x\in K$ ). Desidero trovare un diverso corpo convesso $L$ tale che $K\subseteq L$ e la seguente misura sia ridotta al minimo:

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , dove $x$ è un punto scelto uniformemente a caso da L.

Sono d'accordo con un'approssimazione costante dei fattori alla misura.

Alcune note - La prima ipotesi intuitiva che $K$ stessa sia la risposta è sbagliata. Ad esempio, considera $K$ come un cilindro sottile di dimensioni molto elevate. Quindi possiamo ottenere $L$ tale che $f(L)<f(K)$ lasciando $L$ più volume vicino all'origine.

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Ashwinkumar BV
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Per niente vale la pena, il problema sembra difficile. Anche in 3d non è ovvio come risolverlo.

— Sariel Har-Peled,

È ovvio come farlo in 2d in modo ottimale? Naturalmente in 2d un'approssimazione di fattore costante non è interessante.

— Ashwinkumar BV,

Non è ovvio per me. L'approssimazione di un fattore costante è evidente in qualsiasi dimensione avvicinando la forma con un ellissoide www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. La costante dipende dalla dimensione.

— Sariel Har-Peled,

Sono più interessato all'approssimazione di fattori costanti in cui la costante non dipende dalla dimensione.

— Ashwinkumar BV,

Naturalmente. Ma fammelo riprendere - anche il caso dell'ellissoide non è ovvio. Se vuoi attaccare questo problema, quella sarebbe la prima versione da investigare. Intuitivamente, devi decidere quali dimensioni ignorare e quali dimensioni espandere. Sembra che la soluzione naturale sia lo scafo convesso dell'unione dell'ellissoide con un altro ellissoide, in cui gli assi del nuovo ellissoide sono o uguali a qualche parametro r, o uguali all'altro ellissoide.

— Sariel Har-Peled,

Risposte:

Se limitiamo e a essere entrambi ellissoidi, il tuo problema può essere risolto con qualsiasi precisione con un SDP. So che questo non è quello che hai chiesto inizialmente, ma sembra che non abbiamo soluzione nemmeno per questo caso limitato, e forse può aiutare in generale. $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ e . Ne segue che (e quindi ) se e solo se è una matrice semidefinita positiva. $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

Quindi l'SDP è definito da: data una matrice simmetrica PSD , trova una matrice simmetrica PSD st è PSD e è minimizzato. può essere trovata risolvendo l'SDP e poi uno SVD darà gli assi e gli assi di lunghezze . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Sasho Nikolov
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(Come menzionato nei commenti, il seguente approccio non funziona. L'oggetto ottenuto non è convesso. Caratterizza tuttavia un oggetto a forma di stella con una distanza minima prevista.)

Penso che l'oggetto ottimale sarebbe un'unione di e una palla centrata sull'origine. Ecco i miei pensieri Secondo la tua definizione di , dove è la distanza dall'origine alla superficie di lungo una direzione particolare. Ho usato invece di =, perché ho lasciato cadere alcune costanti. Ora vogliamo minimizzare sotto i vincoli che $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ lungo qualsiasi direzione. Nota che se lungo una direzione è più piccolo di , allora possiamo renderlo leggermente più grande, diciamo di aumentarlo di , per ridurre . Questo perché aumentiamo l'enumeratore di , meno di un fattore dell'aumento del denominatore. Pertanto, possiamo pensare di "deformare" gradualmente (aumentando leggermente leggermente l'oggetto e aggiornando ) per valore . Lascia che sia l'oggetto convesso alla fine. Quindi, qualsiasi punto

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ è alla distanza dall'origine, cioè è l'unione di e una palla con raggio .

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

Infatti, considera un altro oggetto convesso tale che . Quindi , poiché altrimenti possiamo aumentare la parte di all'interno di per ridurre . D'altra parte, , perché altrimenti, per la stessa idea, possiamo ridurre la parte di fuori da per ridurre . Quindi esiste una soluzione ottimale unica. $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— user7852
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Forse mi manca qualcosa, ma perché l'oggetto è generato in questo modo convesso?

— mjqxxxx,

@mjqxxxx Hai ragione. Come mi sono perso ...

— user7852

Che ne dite della seguente idea: è noto che un oggetto convesso può essere approssimato da qualche ellissoide, cioè esiste un ellissoide tale che . Quindi approssima con un rapporto approssimativo . Per ogni contenente , . Quindi, se riusciamo a trovare l'ellissoide ottimale contenente , allora . Non so come calcolare . Ma immagino che i suoi assi si allineino con gli assi di e tutti gli autovalori di

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ sotto di qualche soglia vengono portati a tale soglia.

— user7852

Sono d'accordo che se L non è limitato a un corpo convesso, è l'unione di K e una palla.

— Ashwinkumar BV,

L'idea di usare l'ellissoide non ti darà un fattore costante. Può dare nel migliore dei casi un'approssimazione di . La mia congettura è che lo scafo convesso di con una palla di raggio appropriato è un'approssimazione costante del fattore. Non sono sicuro di come provare o confutare la congettura.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV,

La seguente soluzione si basa su questa ipotesi / congettura [da provare]:

Congettura : l'aspettativa di una funzione convessa su è inferiore alla maggiore tra l'attesa su e l'attesa su . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Avremo bisogno di quanto sopra solo per convesso, ma potrebbe essere vero in generale] $K,K'$

Prendi ora qualsiasi set e applica una rotazione centrata sull'origine, ottenendo . Avrai , perché la rotazione lascia invariata la lunghezza degli elementi diSe ho ragione sulla congettura, . Poiché per ogni ottimale potresti considerare , dove indica l'unione su tutte le rotazioni e ha , sembrerebbe che la ottimale possa essere scelta come la sfera più piccola contenente $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ .

— Marco
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Sarebbe sufficiente dimostrare che per l'aspettativa di una funzione convessa. Che sembra facile.

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— Marco

Non sono del tutto sicuro di avere la tua risposta. Ma non è assolutamente vero che L possa essere scelta come la sfera più piccola contenente K. Considera un cilindro lungo e sottile in dimensioni di lunghezza . Quindi qualsiasi sfera contenente dovrebbe avere . Ma se costruisci dove U è una sfera o raggio all'incirca ottieni all'incirca . (dove sono costanti)

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— Ashwinkumar BV,