Trova la distanza più breve a coppie di punti in o (n log n)?

Il seguente esercizio è stato distribuito agli studenti che supervisiono:

Dati $n$ punti nel piano, escogitare un algoritmo che trova una coppia di punti la cui distanza è minima tra tutte le coppie di punti. L'algoritmo dovrebbe essere eseguito nel tempo $o(n^2)$ .

Esiste un algoritmo di divisione e conquista (relativamente) semplice che risolve il compito nel tempo $\Theta(n \log n)$ .

Domanda 1 : esiste un algoritmo che risolve esattamente il problema nel momento peggiore $\mathcal{o}(n \log n)$ ?

Ciò che mi ha fatto sospettare che ciò potesse essere possibile è un risultato che ricordo di aver visto in alcuni discorsi (riferimento apprezzato). Diceva qualcosa lungo le linee di quel non più di un numero costante $c \in \mathbb{N}$ di punti possono essere disposti nel piano attorno ad un punto $p$ all'interno di un cerchio di raggio $r \in \mathbb{R}$ , con $r$ la distanza minima tra due dei punti coinvolti . Penso che $c=7$ , i punti che formano un esagono equilatero con $p$ al centro (nel caso estremo).

In tal caso, il seguente algoritmo dovrebbe risolverli in $n$ passaggi.

fun mindist [] | p::[] = INFINITY
|   mindist p1::p1::[] = dist(P[0], P[1])
|   mindist p::r = let m = mindist(r) in
                     min(m, nextNeighbour(p, r, m))
                   end

Si noti che questo è (dichiarato di essere) in tempo lineare perché solo un numero costante di punti in non rpuò essere più lontano di mda p(assumendo la frase sopra); solo questi punti devono essere studiati per trovare un nuovo minimo. C'è un problema, ovviamente; come si implementa nextNeighbour(magari con preelaborazione in tempo lineare)?

Domanda 2 : Lasciare un insieme di punti ed un punto p ∉ R . Lascia che m ∈ R con$R$$p \notin R$$m \in \mathbb{R}$

$\qquad m \leq \min\{\mathrm{dist}(p_1, p_2) \mid p_1, p_2 \in R\}$

e

$\qquad R_{p,m} := \{p' \mid p' \in R \wedge \mathrm{dist}(p, p') \leq m\}$ .

Supponiamo che sia finito. È possibile trovare con una distanza minima da in tempo (ammortizzato) ? (Puoi presumere che sia costruito aggiungendo i punti investigati uno per uno.) p ′ ∈ R p , m p O ( 1 ) R $R_{p,m}$$p' \in R_{p,m}$$p$$\mathcal{O}(1)$$R$$p$

E 'impossibile risolvere il problema in meno di tempo a modelli standard, ad esempio utilizzando alberi decisionali algebriche. Ciò deriva dal lavoro di Yao e Ben-Or che mostra che in questo modello non è possibile decidere se una serie di n numeri di input sono tutti diversi o meno (vedere http://people.bath.ac.uk/masnnv /Teaching/AAlg11_8.pdf ). In caso di problemi, immagina che siano tutti sulla linea reale. Se due punti sono uguali, l'output sarebbe di due punti con distanza zero, altrimenti no, quindi una soluzione al tuo problema risolverebbe anche il problema DISTINCT NUMBERS. Se vuoi supporre che tutti i tuoi punti siano diversi, aggiungi semplicemente i ϵ alla $cn\log n$$n$$i\epsilon$ input del problema DISTINCT NUMBERS, in questo caso se l'output è al massimo n ϵ , i numeri non sono tutti distinti. (Anche se in questo caso devi usare una versione promessa in cui la differenza di due numeri distinti è almeno 2 n ϵ , ma penso che la stessa prova funzioni per dimostrare chein questo casohai bisogno anche di Ω ( n log n ) . )$x_i$$n\epsilon$$2n\epsilon$$\Omega(n\log n)$

Esiste un algoritmo di tempo previsto lineare randomizzato di Rabin; vedi ad esempio Rabin lancia una moneta sul blog di Lipton.

$\sqrt{2}$$p$$O(1)$