Teorema di Ladner vs. Teorema di Schaefer

Durante la lettura dell'articolo "È tempo di dichiarare la vittoria nel contare la complessità?" nel blog "Godel's Lost Letter e P = NP" , hanno menzionato la dicotomia per CSP. Dopo aver seguito alcuni link, googling e wikipeding, mi sono imbattuto nel teorema di Ladner :

Teorema di Ladner: Se , poi ci sono problemi in N P ∖ P che non sono N P -Complete.${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

e al teorema di Schaefer :

Teorema della dicotomia di Schaefer: per ogni linguaggio di vincolo Γ superiore a { 0 , 1 } , se Γ è Schaefer, allora C S P ( Γ ) è risolvibile nel tempo polinomiale. Altrimenti, C S P ( Γ ) è N P- completo.$\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

Ho letto questo significa che, per Ladner di, ci sono problemi che non sono né né N P -complete, ma da Schaefer di problemi sono o P e N P -COMPLETE soltanto.${\bf P}$${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

Cosa mi sto perdendo? Perché questi due risultati non si contraddicono a vicenda?

Ho preso la versione ridotta delle affermazioni sul teorema sopra da qui . Nella sua sezione "Commenti finali", dice "Quindi, se un problema è in ma non è N P completo, allora non può essere formulato come CSP".${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

Questo significa che i problemi mancano alcuni casi che si trovano in N P ? Come è possibile?${\bf SAT}$${\bf NP}$

Come afferma Massimo Lauria, i problemi del modulo CSP ( ) sono piuttosto speciali. Quindi non c'è contraddizione.$\Gamma$

Qualsiasi soddisfazione vincolo esempio problema può essere rappresentato come una coppia di strutture relazionali S e T , e si deve decidere se esiste un omomorfismo struttura relazionale dalla sorgente S al bersaglio T . $(S,T)$$S$$T$$S$$T$

CSP ( ) è un tipo speciale di problema di soddisfazione dei vincoli. Consiste in tutte le coppie di strutture relazionali che sono costruite usando solo le relazioni di Γ nella struttura relazionale target: CSP ( Γ ) = { ( S , T ) ∣ tutte le relazioni di  T  sono di  Γ } . Il teorema di Schaefer dice che quando Γ contiene solo relazioni su { 0 , 1 } , allora CSP ( $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$) è NP-complete o in P, ma non dice nulla sulle altre raccolte di istanze CSP.

A titolo di esempio estremo, si può iniziare con alcuni CSP ( ) completi di NP e "buchi" nella lingua. (Ladner ha fatto questo con SAT nella dimostrazione del suo teorema.) Il risultato è un sottoinsieme contenente solo alcune delle istanze, e non più nella forma CSP ( Γ ′ ) per qualsiasi Γ ′ . Ripetendo la costruzione si ottiene una gerarchia infinita di linguaggi di durezza decrescente, assumendo P ≠ NP.$\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

Devi capirlo problemi di C S P hanno una struttura che iproblemi di S A T genericinon hanno. Ti darò un semplice esempio. Sia Γ = { { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$. Questo linguaggio è tale che puoi solo esprimere l'uguaglianza e la disuguaglianza tra due variabili. Chiaramente, una tale serie di vincoli è risolvibile in tempi polinomiali.

Vi darò due argomenti per chiarire la relazione tra e clausole. Si noti che tutto ciò che segue si assume P ≠ N P .$\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$

Primo : i vincoli hanno un numero fisso di variabili, mentre la codifica di problemi intermedi può richiedere clausole di grandi dimensioni. Questo non è necessariamente un problema quando si possono esprimere vincoli così grandi come una congiunzione di quelli piccoli che utilizzano variabili ausiliarie. Purtroppo questo non è sempre il caso del generale .$\Gamma$

Assumere per contenere solo la O R di cinque variabili. Chiaramente si può esprimere l' O R di meno variabili ripetendo ingressi. Non è possibile esprimere un O R più grande perché il modo di farlo utilizzando le variabili di estensione richiede disgiunzioni di letterali positivi e negativi. Γ rappresenta le relazioni sullevariabili, non suiletterali. Infatti, quando si considera 3- S A T come C S P, è necessario Γ contenere quattro relazioni di disgiunzione con alcuni input negati (da zero a tre).$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

Secondo : ogni relazione in può essere espressa come una serie di clausole con (diciamo) tre letterali. Ogni vincolo deve essere un intero lotto di tali clausole. Nell'esempio con vincoli di uguaglianza / disuguaglianza non è possibile avere una A N D binaria (cioè relazione ( 1 , 1 ) ) senza applicare una O R binaria negata (cioè relazione ( 0 , 0 ) ) sulle stesse variabili.$\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

Spero che ciò ti illustri che le istanze ottenute da C S P s hanno una struttura molto peculiare, che è rafforzata dalla natura di Γ . Se la struttura è troppo stretta, non è possibile esprimere problemi difficili. $\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

Un corollario del teorema di Schaefer è che ogni volta che impone una struttura abbastanza libera da esprimere problemi di decisione di N P ∖ P , lo stesso Γ consente abbastanza libertà di esprimere istanze generali di 3 S A $\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$