Completezza funzionale della logica a 3 valori

Nel contesto di alcuni lavori recenti , abbiamo definito un linguaggio basato su una logica a tre valori alla Kleene, dove sta per vero, per falso e per errore o non lo so. Per dimostrare che il nostro linguaggio era espressivo, volevamo dimostrare che potevamo costruire un insieme di operatori funzionalmente completi. $1$ $0$ $\bot$

È stato abbastanza difficile trovare risultati esistenti in letteratura. Abbiamo trovato un articolo scritto nel 1962 da Jobe, che afferma il seguente teorema:

Documento di teorema di Jobe 1962 (accesso limitato).

La logica a tre valori espressa sull'insieme e definita dagli operatori ed , fornita di seguito, è funzionalmente completa. $E$ $\{1, 2, 3\}$ $\bullet, E_1$ $E_2$

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

Nel nostro documento, abbiamo usato questo risultato mostrando una corrispondenza tra i nostri operatori e quelli definiti da Jobe (approssimativamente parlando, usiamo la congiunzione forte, la negazione e un operatore che trasforma il non-sapere in falso).

La mia preoccupazione principale è che in realtà non sono in grado di comprendere la prova della completezza funzionale di Jobe e non siamo stati in grado di trovare altri risultati (positivi o negativi) dopo questa data, il che è in qualche modo un po 'sorprendente.

Quindi la mia domanda è la seguente: ci sono alcuni risultati più noti sulla completezza funzionale della logica a 3 valori? Qualsiasi informazione in questa direzione sarebbe utile.

reference-request lo.logic

— Charles
fonte

Il campo a elementi è funzionalmente completo. L' algebra a elementi Post è funzionalmente completa.

3

$3$

3

$3$

— Emil Jeřábek,

@ EmilJeřábek Grazie, ho appena letto della logica di Ternary Post, e questo sembra corrispondere (anche se non riesco a trovare molto su questo argomento). Vuoi avere qualche riferimento sul campo a 3 elementi? Google è un po 'troppo vago.

— Charles

Non posso darti un riferimento off-hand, ma è un dato di fatto: l'interpolazione standard (multivariata) implica che qualsiasi operazione su un campo finito può essere espressa da un polinomio. Inoltre, se il campo è primo (come qui), i coefficienti del polinomio sono definibili da termini costanti ( ). Pertanto, i campi primi nella lingua sono funzionalmente completi.

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$

— Emil Jeřábek,

I capitoli 5 e 6 del libro [Algebre di funzioni su insiemi finiti, Dietlinde Lau, 2006] contengono un trattamento approfondito della completezza funzionale nella logica a molti valori (comprese le prove). In sintesi: la caratterizzazione di Rosenbergs [1965, 1970] dei cloni massimi (chiamati anche cloni precompilati) fornisce un criterio di completezza funzionale nella logica a valore k per qualsiasi k.

Per il caso speciale della logica a 3 valori tale caratterizzazione (composta da 18 classi massime / precompilate) è stata data da Jablonskij già nel 1954. Quindi, al fine di verificare che l'insieme di "operatori" a 3 valori sia funzionalmente completo, esso è sufficiente per verificare che non rientrino in nessuna delle 18 classi precompilate.

— Gustav Nordh
fonte