Limiti di compromesso per il conteggio della gamma di semafori

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Qual è l'attuale limite migliore per eseguire l'intervallo di metà spazio contando le query su un insieme di punti dimensionali, espressi sotto forma di un compromesso tempo / spazio. Secondo il saggio seminale di Matousek del 1993 (Teorema 6.2, Ricerca della portata con tagli gerarchici efficienti), possiamo fare il conteggio della portata per le query che sono l'intersezione di semispazi, per , usando una struttura di dati di dimensioni , per , in ora. Per questo è tempo. Tuttavia, l'indagine di Agarwal sulla ricerca a distanza (Tabella 36.3.2) afferma che il limite è $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ . Qual è la dichiarazione corretta del limite? In alternativa, cosa sto fraintendendo? Infine, c'è qualche termine nascosto nel registro quando ? $m=n^d$

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— PKN
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Il limite di tempo più forte di Matoušek è corretto.

La dimostrazione del Teorema 6.1 ( nella versione journal ) utilizza un trucco indiretto che riduce lo spazio necessario per il tempo di query logaritmica da a . Intuitivamente, il trucco è quello di raggruppare i punti in sottoinsiemi di dimensioni poliarlogaritmiche, costruire una struttura di dati spaziali lineari per ciascun sottoinsieme e quindi costruire una struttura di tempo di query logaritmica standard sui sottoinsiemi. Collegare lo spazio migliorato legato al macchinario multilivello / compromesso di Matoušek - descritto in una generale generosità nella versione più lunga del sondaggio di Agarwal - dà la forma di Matoušek al compromesso spazio-temporale. (In effetti, il trucco dell'indirizzamento indiretto è solo un'applicazione molto attenta dei macchinari standard di compromesso.) $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$

— Jeffε
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Giusto per essere esplicito: il teorema 6.2 nel documento di Matousek afferma che il conteggio degli spazi vuoti può essere fatto in spazio, tempo. Quando , questo è tempo ... non esiste un fattore log additivo non dichiarato? Lo chiedo solo perché nel sondaggio Teorema 7 e Corollario 8 hanno un additivo che non è presente nella dichiarazione del teorema di Matousek.

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

Ah, capisco. Sì, c'è un bug; il limite superiore nell'istruzione teorema è troppo lento. La prova richiede ; in caso contrario, il parametro intero sarebbe inferiore a . L'aggiunta del termine logairthmic al tempo della query risolve anche il problema.

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Jeffε

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Vi è una breve discussione dei risultati nella ricerca dell'intervallo di mezzo spazio appena sopra la tabella 36.3.2 del sondaggio di Agarwal e un altro nella sezione 4.3 di questo sondaggio . Il primo non sembra fornire molti dettagli oltre a "Un compromesso spazio / tempo di query per la ricerca dell'intervallo simplex può essere raggiunto combinando le strutture di dati di tempo di query di dimensione lineare e logaritmico", ma il secondo sembra fornire abbastanza maggiori dettagli sul compromesso spazio / tempo query. Suggerisco di esaminare la sezione 4.3, Teorema 7, Corollario 8 e le loro prove. Non li ho letti in modo sufficientemente dettagliato per sapere se risponde pienamente alla tua domanda, ma è almeno un buon punto di partenza.

— Joe
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