Qual è la ragione "reale" che IP = PSPACE non è relativizzante?

$O$ ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ $O$

Tuttavia, ho visto solo poche persone dare una spiegazione "diretta" del perché il risultato non si relativizza e la risposta abituale è "aritmetizzazione". All'ispezione della prova di IP = PSPACE, quella risposta non è falsa , ma per me non è soddisfacente. Sembra che la "vera" ragione risalga alla prova che il problema TQBF - vera formula booleana quantificata - è completo per PSPACE; per dimostrarlo, è necessario dimostrare che è possibile codificare le configurazioni di una macchina PSPACE in un formato polinomiale e (questa sembra essere la parte non relativizzante) è possibile codificare transizioni "corrette" tra configurazioni in un formato polinomiale formula booleana: utilizza un passaggio in stile Cook-Levin. ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$

L'intuizione che ho sviluppato è che i risultati non relativizzanti sono quelli che colpiscono con la grintosa grinta delle macchine di Turing, e il passaggio in cui TQBF si dimostra completo per PSPACE è dove avviene questo frugare in giro - e il passaggio di aritmetizzazione potrebbe è successo solo perché avevi una formula booleana esplicita da aritmetizzare.

Questa mi sembra la ragione fondamentale per cui IP = PSPACE non è relativizzante; e il mantra del folklore che le tecniche di aritmetizzazione non relativizzano sembra essere un sottoprodotto di ciò: l'unico modo per aritmetizzare qualcosa è se hai una formula booleana che codifica qualcosa sulle TM in primo luogo!

C'è qualcosa che mi manca? Come domanda secondaria: questo significa che anche tutti i risultati che usano in qualche modo TQBF non si relativizzano?

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— Henry Yuen
fonte

Puoi includere le porte dell'oracolo in una formula booleana quantificata, e quindi un TQBF ^ O relativizzato è completo per PSPACE ^ O, quindi questo non è il passaggio non relativizzante.

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Ciao Emil, potresti approfondire un po 'di più? Diciamo che ho una machine M, e provo a eseguire la stessa prova che L (M) (la lingua accettata da M) è riducibile a (qualunque cosa significhi). Alla fine dovrò trovare una formula booleana che esprima se due configurazioni C, C 'della macchina dell'oracolo M sono vicine (per due configurazioni C, C'). Come posso garantire, indipendentemente dall'oracolo, questa formula booleana ha dimensioni finite, e tanto meno dimensioni polinomiali? Ad esempio, O potrebbe codificare il problema di interruzione.

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— Henry Yuen,

Immagino di poterlo spingere ancora di più: il teorema di Cook-Levin si relativizza? Per le stesse ragioni sopra menzionate, non credo. Se il teorema di Cook-Levin relativizza determina se anche la prova di completezza PSPACE di TQBF è relativizzata.

— Henry Yuen,

Una formula QBF ^ O può, oltre ai soliti quantificatori e connettivi booleani, utilizzare anche un nuovo gate di fan-in illimitato, chiamiamolo , la cui semantica è quella se e solo se la stringa appartiene l'oracolo . Esprimere in questa lingua che una configurazione è il successore di un'altra è un semplice esercizio, poiché puoi semplicemente collegare il contenuto del nastro di query Oracle in . (

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$

— Suppongo

Capisco: stai dicendo che quando relativizzi la prova della completezza di PSPACE di TQBF, non solo relativizzi le macchine in gioco, ma relativizzi anche le stesse formule booleane (quindi non sono più formule booleane in senso stretto ). In tal caso, posso capire perché il passaggio dell'aritmetizzazione si interrompesse. Grazie! Forse puoi scriverlo come risposta.

— Henry Yuen,

Qualsiasi risposta a una domanda del modulo, "Qual è la vera ragione per cui ..." sarà necessariamente in qualche modo soggettiva. Tuttavia, per il caso particolare di IP = PSPACE, penso che si possa fare un caso piuttosto valido che l'aritmetizzazione è davvero la chiave, osservando che mentre IP = PSPACE non si relativizza , algebrica nel senso di Aaronson e Wigderson . Come spiegano nel loro articolo, approssimativamente parlando, un'inclusione di classe di complessità algebrizza se per tutti oracoli e tutte le estensioni di basso grado di ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ $A$ . In particolare, mostrano che l'inclusione di PSPACE algebrizza IP, anche se non si relativizza. $\subseteq$

L'intuizione che ho sviluppato è che i risultati non relativizzanti sono quelli che frugano con la nitidezza grintosa delle macchine di Turing

Questa non è una cattiva intuizione, ma penso che il risultato di Aaronson-Wigderson mostri che la prova IP = PSPACE si diffonde in un modo piuttosto limitato, e certamente non in un modo abbastanza sofisticato per dimostrare P NP, dal momento che Aaronson e Wigderson mostra anche che saranno necessarie tecniche non algebrizzanti per separare P da NP. $\ne$

— Timothy Chow
fonte

Grazie per il riferimento. Fammi vedere se capisco questo: quello che tu - e il documento di Aaronson / Wigderson - sembra stiate sostenendo è che "l'aritmetizzazione" è un passo debolmente non relativizzante e che un piccolo, naturale cambiamento alla nozione di relativizzazione (vale a dire, relativizzazione algebrica) romperà questa proprietà. Poiché il resto della dimostrazione IP = PSPACE è relativizzante (e sono convinto da ciò che Emil ha detto sopra), ciò significa che il risultato IP = PSPACE stesso è debolmente non relativizzante, che è quello che hai detto. Molto interessante! Grazie. Ho bisogno di un modo per accettare entrambe le risposte :)

— Henry Yuen,

Sì, è sostanzialmente giusto.

— Timothy Chow,