Qual è l'estensione minima di FO che cattura la classe delle lingue normali?

Contesto: relazioni tra logica e automi

Il teorema di Büchi afferma che la logica monadica del secondo ordine sulla logica delle stringhe (MSO) cattura la classe dei linguaggi regolari. La dimostrazione in realtà mostra che MSO esistenziale ( exist o EMSO ) su stringhe è sufficiente per acquisire lingue regolari. Questo potrebbe essere un po 'sorprendente, poiché, rispetto alle strutture generali, MSO è strettamente più espressivo di . $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

La mia (originale) domanda: una logica minima per le lingue normali?

Esiste una logica che, al di sopra delle strutture generali, è strettamente meno espressiva di , ma che cattura ancora la classe di linguaggi regolari se considerata sopra le stringhe? $\exists\text{MSO}$

In particolare, vorrei sapere quale frammento delle lingue normali viene catturato dalle FO sulle stringhe quando viene esteso con un operatore a punto minimo fisso (FO + LFP). Sembra un candidato naturale per quello che sto cercando (se non è ). $\exists\text{MSO}$

Una prima risposta

Secondo la risposta di @ makoto-kanazawa , sia FO (LFP) che FO (TC) catturano più dei linguaggi normali, in cui TC è un operatore di chiusura transitiva delle relazioni binarie. Resta da vedere se TC può essere sostituito da un altro operatore o da un insieme di operatori in modo tale che l'estensione catturi esattamente la classe delle lingue normali e nessun altro.

La sola logica del primo ordine, come sappiamo, non è sufficiente, poiché cattura le lingue senza stelle, una sottoclasse corretta delle lingue normali. Come esempio classico, la lingua Parity non può essere espressa usando una frase FO. $\;\;=(aa)^*$

Domanda aggiornata

Ecco una nuova formulazione della mia domanda, che rimane senza risposta.

Qual è l' estensione minima della logica del primo ordine in modo tale che FO + questa estensione, quando acquisita su stringhe, catturi esattamente la classe delle lingue normali?

In questo caso, un'estensione è minima se è la meno espressiva (se assunta su strutture generali) tra tutte le estensioni che catturano la classe di linguaggi regolari (se presa su stringhe).

— Janoma
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Se non sbaglio, -calculus è effettivamente equivalente a MSO sulle stringhe.

μ

$\mu$

— Sylvain,

@Sylvain, qualche riferimento? Non so nulla di -calculus.

μ

$\mu$

— Janoma,

Sembra essere provato in dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 per l'albero infinito e in dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 per l'equivalenza con il frammento invariante di bisimulazione di MSO su strutture arbitrarie.

— Sylvain,

Sto dando un'occhiata al secondo documento, anche se temo che molti concetti siano nuovi per me. In particolare, non sapevo dei sistemi di transizione invarianti di bisimulazione. Sembra che i DFA siano casi particolari di un sistema di transizione, ma non so se siano bisarulanti. Se lo sono, ciò risponderebbe a una parte della mia domanda (potrebbe esserci un'altra logica meno espressiva per i linguaggi regolari); se non lo sono, penso che non si possa dire nulla, poiché potrebbe esserci ancora un'equivalenza se si considerano solo le stringhe.

— Janoma,

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

FO (LFP) acquisisce PTIME su strutture ordinate e le stringhe sono strutture ordinate. Quindi le lingue definibili da FO (LFP) includono tutte le lingue regolari e molto altro ancora. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Makoto Kanazawa
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Eccellente. Non so cosa intendi con TC ^ 1 e TC ^ 2, è un errore di battitura? Per quanto ne so, nel libro menzioni la notazione usata è FO (TC) per l'estensione di FO con chiusura transitiva e FO (DTC) per l'estensione di FO con chiusura transitiva deterministica , che è definita in modo diverso. Tuttavia, non ho trovato l'esercizio di cui parli. Resta da vedere se esiste un operatore meno espressivo di TC che consente ancora di acquisire linguaggi regolari. Aggiornerò la mia domanda di conseguenza.

— Janoma,

Questa risposta è un po 'in ritardo, ma è noto che si possono ottenere tutte e solo le lingue regolari contiguo ad un quantificatore di gruppo generalizzato per ciascun gruppo finito (o equivalentemente per ciascun gruppo semplice finito). Ad esempio, vedere "Lingue regolari definibili da quantificatori Lindstrom" di Zoltan Esiky e Kim G. Larsen, su http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

Inoltre, questo è ottimale nel senso che un linguaggio regolare sarà definibile solo se saranno disponibili i quantificatori per ogni gruppo che divide il suo monoide sintattico.

— Ben Standeven
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Ho trovato altri riferimenti che potrebbero interessarti.

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— Makoto Kanazawa
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