Ho la seguente CNN:

1. Comincio con un'immagine di input di dimensioni 5x5
2. Quindi applico la convoluzione usando il kernel 2x2 e stride = 1, che produce una mappa delle caratteristiche di dimensioni 4x4.
3. Quindi applico 2x2 max-pooling con stride = 2, che riduce la mappa delle caratteristiche a dimensioni 2x2.
4. Quindi applico il sigmoid logistico.
5. Quindi uno strato completamente collegato con 2 neuroni.
6. E un livello di output.

Per semplicità, supponiamo che io abbia già completato il passaggio in avanti e calcolato δH1 = 0,25 e δH2 = -0,15

Quindi dopo il passaggio in avanti completo e il passaggio all'indietro parzialmente completato, la mia rete appare così:

Quindi calcolo i delta per il livello non lineare (sigma logistico):

$$\begin{align} &\delta_{11}=(0.25 * 0.61 + -0.15 * 0.02) * 0.58 * (1 - 0.58) = 0.0364182\\ &\delta_{12}=(0.25 * 0.82 + -0.15 * -0.50) * 0.57 * (1 - 0.57) = 0.068628\\ &\delta_{21}=(0.25 * 0.96 + -0.15 * 0.23) * 0.65 * (1 - 0.65) = 0.04675125\\ &\delta_{22}=(0.25 * -1.00 + -0.15 * 0.17) * 0.55 * (1 - 0.55) = -0.06818625\\ \end{align}$$

Quindi, propaga i delta al livello 4x4 e imposto tutti i valori che sono stati filtrati con max pooling su 0 e la mappa sfumata è simile alla seguente:

Come posso aggiornare i pesi del kernel da lì? E se la mia rete avesse un altro livello convoluzionale prima di 5x5, quali valori dovrei usare per aggiornare i pesi del kernel? E nel complesso, il mio calcolo è corretto?

Una convoluzione impiega un principio di condivisione del peso che complicherà significativamente la matematica ma proviamo a superare le erbacce. Traggo la maggior parte delle mie spiegazioni da questa fonte .

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Forward pass

Come hai osservato, il passaggio in avanti dello strato convoluzionale può essere espresso come

$x_{i, j}^l = \sum_m \sum_n w_{m,n}^l o_{i+m, j+n}^{l-1} + b_{i, j}^l$

$k_1$$k_2$$k_1=k_2=2$$x_{0,0} = 0.25$$m$$n$

backpropagation

Supponendo che si stia utilizzando l'errore quadratico medio (MSE) definito come

$E = \frac{1}{2}\sum_p (t_p - y_p)^2$

vogliamo determinare

$\frac{\partial E}{\partial w^l_{m', n'}}$$m'$$n'$$w^1_{0,0} = -0.13$$H$$K$

$(H-k_1+1)$$(W-k_2+1)$

$4$$4$$w^1_{0,0} = -0.13$$x^1_{0,0} = 0.25$

$\frac{\partial E}{\partial w^l_{m', n'}} = \sum_{i=0}^{H-k_1} \sum_{j=0}^{W-k_2} \frac{\partial E}{\partial x^l_{i, j}} \frac{\partial x^l_{i, j}}{\partial w^l_{m', n'}}$

Questo scorre attraverso l'intero spazio di output, determina l'errore che sta contribuendo all'output e quindi determina il fattore di contributo del peso del kernel rispetto a quell'output.

Chiamiamo il contributo all'errore dal delta dello spazio di output per semplicità e per tenere traccia dell'errore di backpropagated,

$\frac{\partial E}{\partial x^l_{i, j}} = \delta^l_{i,j}$

Il contributo dei pesi

La convoluzione è definita come

$x_{i, j}^l = \sum_m \sum_n w_{m,n}^l o_{i+m, j+n}^{l-1} + b_{i, j}^l$

in tal modo,

$\frac{\partial x^l_{i, j}}{\partial w^l_{m', n'}} = \frac{\partial}{\partial w^l_{m', n'}} (\sum_m \sum_n w_{m,n}^l o_{i+m, j+n}^{l-1} + b_{i, j}^l)$

$m=m'$$n=n'$

$\frac{\partial x^l_{i, j}}{\partial w^l_{m', n'}} = o^{l-1}_{i+m', j+n'}$

Quindi di nuovo nel nostro termine di errore

$\frac{\partial E}{\partial w^l_{m', n'}} = \sum_{i=0}^{H-k_1} \sum_{j=0}^{W-k_2} \delta_{i,j}^l o^{l-1}_{i+m', j+n'}$

Discesa gradiente stocastica

$w^{(t+1)} = w^{(t)} - \eta \frac{\partial E}{\partial w^l_{m', n'}}$

Calcoliamo alcuni di essi

import numpy as np
from scipy import signal
o = np.array([(0.51, 0.9, 0.88, 0.84, 0.05), 
              (0.4, 0.62, 0.22, 0.59, 0.1), 
              (0.11, 0.2, 0.74, 0.33, 0.14), 
              (0.47, 0.01, 0.85, 0.7, 0.09),
              (0.76, 0.19, 0.72, 0.17, 0.57)])
d = np.array([(0, 0, 0.0686, 0), 
              (0, 0.0364, 0, 0), 
              (0, 0.0467, 0, 0), 
              (0, 0, 0, -0.0681)])

gradient = signal.convolve2d(np.rot90(np.rot90(d)), o, 'valid')

array ([[0.044606, 0.094061], [0.011262, 0.068288]])

$\frac{\partial E}{\partial w}$

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Per favore fatemi sapere se ci sono errori nella derivazione.

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Aggiornamento: codice corretto