Rischio morale con agente neutrale al rischio

Abbiamo un modello di agente principale con azioni nascoste in cui il principale è avverso al rischio e l'agente è neutrale al rischio; Supponiamo inoltre che ci siano due livelli di output, e (con ) e due azioni . Definire le probabilità di nelle azioni . Inoltre, la disutilità dell'agente dall'azione è . I salari associati a sono rispettivamente . $x$ $x'$ $x'>x$ $a,a'$ $p(a),p(a')$ $x'$ $a,a'$ $a'$ $-1$ $x,x'$ $w,w'$

Il mio problema è che non sono sicuro di come dimostrare che il contratto ottimale richiede , ovvero che l'agente, essendo neutrale al rischio, assume tutta la variabilità associata al progetto. $x'-w' =x-w$

Formalizzo il problema (suppongo che il preside voglia indurre , altrimenti la mia domanda è banale) $a'$

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

In particolare, quando provo a risolvere il problema massimizzando il payoff atteso principale soggetto ai vincoli "standard" di razionalità individuale (con $\lambda$ moltiplicatore) e compatibilità incentivante (con $\mu$ moltiplicatore) (presumo che il principale sia interessato a più azione costosa $a'$ ) Finisco con due equazioni che non sono coerenti con il risultato di cui sopra. In particolare:

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

È evidente che contiene iff che non è il caso in questo problema (qui abbiamo quel ). Un'altra possibilità sarebbe quella di supporre che il vincolo di compatibilità degli incentivi sia lento (quindi ); tuttavia non riesco a capire perché ciò debba valere, quando il preside vuole indurre l'azione più costosa (aiuto qui) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

Ho letto online che un altro approccio sarebbe quello di supporre che il principale "vende" il progetto all'agente e all'agente, dopo aver scelto quale livello di sforzo massimizza la sua utilità prevista, restituisce un importo fisso al capitale (chiamalo ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

Quindi avremmo qualcosa del tipo:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ se l'agente ha scelto di intraprendere uno sforzo elevato e altrimenti. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

Ma allora come andare da lì? Come assicurare che l'agente sceglierà l'azione ? Come vengono determinati gli importi fissi? Perché sono ottimali? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
fonte

Un suggerimento: data la tua configurazione, non è necessariamente l'azione efficiente, e quindi il principale non vuole necessariamente indurlo. Vuoi che le persone credano che lo sia?

a^{'}

$a^\prime$

— Shane,

@Shane Questo è affermato nella domanda: "supponiamo che il preside voglia indurre "

a^{'}

$a'$

— Giskard,

@denesp Questo è vero, ma è ancora importante sapere se è effettivamente efficiente, poiché, dato l'agente neutrale al rischio, vendere il progetto all'agente sarà ottimale, indipendentemente da cosa, ma indurrà solo se è efficiente. Se non è efficiente ma il principale vuole indurlo a prescindere, allora l'intera nozione di contratti ottimali è sfocata - troveremmo il contratto ottimale da una serie di contratti che inducono una scelta non ottimale.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Shane,

Il principale può semplicemente effettuare un pagamento per indurre un ', di un importo basato sull'utilità che il capitale riceve da questa azione.

— DJ Sims,

I "salari" possono essere negativi o zero?

— Alecos Papadopoulos,

Risposte:

Questa risposta mostra tre cose:

Non abbiamo bisogno dell'approccio lagrangiano per risolvere il tuo problema di massimizzazione.
Non abbiamo nemmeno bisogno del presupposto che . $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
La condizione non è necessariamente soddisfatta per il contratto ottimale. $x'-w'=x-w$

Risolvi davvero il pagamento . Il problema può essere scritto dati i vincoli È chiaro che il principale ha interesse a impostare il valore più basso possibile per dato questo insieme di vincoli, poiché la funzione obiettivo sta diminuendo in . Pertanto imposterà $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

Come ha fatto @Alecos_Papadopoulos, ha senso presumere che l'agente sia protetto da responsabilità limitata, vale a dire che i suoi pagamenti non sono negativi. Altrimenti il problema non ha necessariamente una soluzione: il principale potrebbe sempre trarre vantaggio dalla riduzione di e dall'aumento di modo da mantenere soddisfatto il vincolo di razionalità individuale. Ma il contratto è ovviamente una soluzione soddisfacente. Pertanto, limito l'attenzione al caso in cui e . $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

La condizione implica e quindi $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

Inserendo questa equazione nella funzione oggettiva, il problema del principale diventa

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ Questa funzione oggettiva sta diminuendo in . Quindi imposta semplicemente e . In conclusione, l'uguaglianza non ha motivo di essere soddisfatta a meno che non si che , cioè che Quest'ultima equazione significa che l'eccedenza sociale risultante da uguale all'eccedenza risultante da

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : è un caso molto particolare in cui il costo dello sforzo per l'agente è esattamente compensato dall'aumento della produzione prevista per il capitale. In tutti gli altri casi, abbiamo .

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

Penso che il motivo per cui l'agente non si assume tutti i rischi è perché le sue azioni non sono osservabili, e quindi non contrattabili. Questa proprietà sarebbe vera in un'economia di condivisione del rischio con allocazioni non vincolate. Ma l'allocazione è qui distorta dalla necessità di incentivare l'agente a compiere un grande sforzo.

— Oliv
fonte

(+1) È un buon approccio, mi piace essere formale con problemi semplici. Un ultimo problema con la configurazione del PO: dato che è arbitrario, nulla garantisce che .

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Alecos Papadopoulos,

Non credo che "il preside potrebbe sempre trarre vantaggio dalla riduzione di e dall'aumento di modo da mantenere soddisfatto il vincolo di razionalità individuale". è vero. Voglio dire, ci sono casi in cui non è possibile beneficiare e mantenere soddisfatto il vincolo di partecipazione.

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard,

@denesp Penso che sia vero. Prendi negativo e abbastanza piccolo, e per soddisfare entrambi i vincoli. La funzione oggettiva del principale è e questa funzione è strettamente decrescente in , quando è abbastanza piccolo. Pertanto il principale può sempre fare meglio abbassando e impostando : nessuna soluzione finita è ottimale.

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— Oliv

@Alecos Papadopoulos grazie. Perché vorresti garantire che ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— Oliv

@Oliv Se , il ricavo netto per il principale è negativo se si verifica , mentre è positivo se si verifica (con ). Infatti anche se , ci troviamo in una situazione in cui il principale vuole indurre l'azione , anche se l'utilità condizionale è inferiore se si verifica . Ciò richiederebbe un trattamento più completo, per determinare ciò che è veramente ottimale qui. Certamente, possiamo accettare il problema così com'è, con tutti i suoi presupposti presi come dati ad hoc, ma preferisco i problemi che contrastano l'intuizione solo se, alla fine, possono spiegare in modo illuminante il perché.

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Alecos Papadopoulos

Una cosa che mi infastidisce qui è la seguente: il vincolo di compatibilità degli incentivi è

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... dal presupposto . Ci viene detto che dovremmo trovare che al , $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

Combinando e , se effettivamente questo è l'ottimo in base ai vincoli indicati, dobbiamo anche avere $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

Ma questo è un ulteriore, necessario vincolo a magnitudo a priori, che deve valere se la soluzione ottimale postulata deve essere ammissibile. Anche se in effetti si assume un tale vincolo, in ogni caso riduce visibilmente la generalità del problema (che pretende di mostrare qualcosa di generale, ovvero come la neutralità del rischio dell'agente influisce sulla soluzione).

Tuttavia, lavoriamo un po 'più formalmente. Presumo che possa essere zero, ma non negativo. Questo è un problema di massimizzazione in forma normale con vincoli di disuguaglianza, variabili di decisione non negative e moltiplicatori non negativi. L'intero lagrangiano del problema è quindi (compatterò la notazione in modo ovvio), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

Le condizioni essenziali del primo ordine sono

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

e analogamente per . Questi risultati in $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

Prima nota che non entrambi i salari possono essere pari a zero, poiché i vincoli verrebbero violati. Detto questo, considera la possibilità che l' sia vincolante (quindi ). Se è vincolante, quindi con entrambi i salari pari a zero, il vincolo verrà necessariamente violato. Quindi lo concludiamo $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

e le condizioni del primo ordine ora diventano

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

Ora nota che se (cioè ), allora dovrebbe essere considerato uguale e con l'ultimo termine a destra uguale a zero. Ma ciò richiederebbe un'utilità marginale negativa che è inammissibile. Sappiamo anche che non entrambi i salari possono essere zero. Quindi concludiamo che dobbiamo avere $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

e le condizioni adesso diventano

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Eq. implica che , in base a una normale specifica della funzione di utilità, che non fornisce un'utilità marginale zero se non all'infinito. Questo a sua volta significa che il vincolo dovrebbe essere considerato come una parità. Dato che questo dà $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

Questo dovrebbe suonare un campanello, perché il lato destro di è uguale al lato destro di e . $(6)$ $(1)$ $(3)$

Vale a dire, se stiamo assumendo a priori che , allora la soluzione siamo arrivati alla convalida l'affermazione $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

In base a questo presupposto aggiuntivo, otteniamo anche

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

Combinando, otteniamo

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

Questo è ammissibile . Quindi sotto , otteniamo la soluzione $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Alecos Papadopoulos
fonte